Tp.8 Ej.9

Calcule \iint_D \frac{x+4y}{x^2}dxdy con D: x \geq y, x+4y \leq 4 , y \geq 0 usando coordenadas polares.

Solución:
Recordemos que las coordenadas polares vienen dadas por:
x = \rho \cos(\phi)
y = \rho \sin(\phi)
Y su elemento de area es dA = \rho \ d\rho d\phi

Lo primero que conviene hacer es graficar la región D para calcular los límites de integración:

tp8_ej9_bis
load(draw);
draw2d(color=black,
parametric(t,t, t,0,3),
color=red,
parametric(t, (4-t)/4, t,0, 4)
);

Por lo tanto vemos que estamos en el primer cuadrante, y que el ángulo va a ir hasta la recta y=x es decir la mitad del primer cuadrante (0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{4})
Por otro lado el radio va a ir desde el origen hasta la recta x + 4y = 4 que en coordenadas polares es:
\rho \cos(\phi) + 4 \rho \sin(\phi) = 4
\rho (\cos(\phi) + 4 \sin(\phi)) = 4
\rho = \frac{4}{\cos(\phi) + 4 \sin(\phi)}

Ahora aplicamos la transformación al integrando:
\frac{x+4y}{x^2} = \frac{\rho \cos(\phi) + 4 \rho \sin(\phi)}{\rho^2 \cos^2(\phi)}
= \frac{\cos(\phi) + 4\sin(\phi)}{\rho \cos^2(\phi)}

Por lo tanto juntando todo nos queda:
\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\phi \int_0^{\frac{4}{\cos(\phi) + 4 \sin(\phi)}} \frac{\cos(\phi) + 4\sin(\phi)}{\rho \cos^2(\phi)} \rho d\rho

\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{4}{\cos(\phi) + 4 \sin(\phi)} \frac{\cos(\phi) + 4\sin(\phi)}{\cos^2(\phi)} d\phi

4 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2(\phi)} d\phi

4 \left[ \tan(\phi) \right]_0^{\frac{\pi}{4}}

= 4 (1-0) = 4

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