Tp.7 Ej.5

Sábado, junio 13th, 2009

Halle las coordenadas del centro de gravedad de un alambre filiforme cuya densidad lineal en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z; si la forma del alambre queda determinada por la intersección de x+y+z=4 con y=2x en el 1º octante

Solución:
Para hallar el centro de gravedad del alambre, vamos a necesitar conocer su masa, por lo que primero vamos a calcularla.
La función densidad es proporcional a la distancia al eje z, por lo tanto:
\delta(x,y,z) = k \sqrt{x^2 + y^2}
Por otro lado vamos a necesitar la parametrización de la curva:
De la primer ecuación:
z = 4 - x - y
Entonces
C(t) = (t, 2t, 4-t-2t)  = (t, 2t, 4-3t)
Como estamos en el 1º octante tenemos que A=(0,0,4) y B=(4/3, 8/3, 0)
Por lo tanto el recorrido sería entre 0 \leq t \leq 4/3
Su vector tangente es:
C'(t) = (1, 2, -3)
|C'(t)| = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}
M = k\sqrt{14} \int_0^{4/3} \sqrt{t^2 + 4t^2} dt
M = k\sqrt{14}\sqrt{5} \int_0^{4/3} t dt
M = k\sqrt{14}\sqrt{5} [t^2/2]_0^{4/3}
M = k\sqrt{14}\sqrt{5} 8/9

La fórmula de centro de gravedad es (M_{yz}, M_{xz}, M_{xy})/M
Vamos a hacer solo el primer componente, para ello sólo nos falta el momento estático respecto del eje x:

M_{yz} = k \sqrt{14} \int_0^{4/3} t \sqrt{t^2 + 4 t^2} dt
M_{yz} = k \sqrt{14}\sqrt{5} \int_0^{4/3} t^2 dt
M_{yz} = k \sqrt{14}\sqrt{5} [t^3/3]_0^{4/3}
M_{yz} = k \sqrt{14}\sqrt{5} 64/81

Por lo tanto M_{yz}/M = \frac{64/81}{8/9}
= \frac{64/81}{8/9} = \frac{(64)(9)}{(81)(8)} = 8/9

Para terminar el ejercicio faltaría hacer los componentes y y z del centro de gravedad, mediante el mismo procedimiento.

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2 comentarios el “Tp.7 Ej.5

  1. Juan dice:

    Disculpa que te moleste, mi única duda es de donde sacas la formula de densidad, y en otro ejercicio ( el 4) de donde sacas la formula de resistividad lineal?
    Muchas gracias

    • dami dice:

      Hola Juan,

      En este blog estaba desde hace un tiempo este resúmen de fórmulas de masa, momentos y centro.

      De todas formas ahora agregué las fórmulas correspondiente a cálculo de masa, momentos y centro en las respectivas páginas de integrales sobre curvas, las dobles y triples, y sobre superficies.

      El cálculo de la resistencia eléctrica es análogo al cálculo de la masa: en lugar de integrar la densidad de masa, integrás la resistividad lineal sobre la curva (que podés interpretar como un alambre en el espacio)

      Saludos,
      Damián.

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