Tp.7 Ej.2

Calcule la longitud de la frontera de la región plana definida por: x^2 + y^2 \leq 4, y \geq x, x \geq 0

Solución:
En este ejercicio la curva nos la dan como fontera de una región en el plano.
Lo primero que vamos a hacer es graficar la curva, y separarla en un conjunto de curvas regulares.
tp7_ej2_bis
draw2d(color=black,
parametric(t,t, t,-sqrt(2),sqrt(2)),
color=red,
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t,0, 2*%pi),
color=green,
parametric(0,t,t,-2,2));

Entonces tenemos que la curva frontera es
C = C_1 + C_2 + C_3,
y podemos calcular la longitud de C calculando las longitudes de todas las C_i y sumandolas.

Parametricemos las curvas:
C_1(t) = (t,t) con 0 \leq t \leq \sqrt{2}
C_2(t) = (2\cos(t),2\sin(t)) con \pi/4 \leq t \leq \pi/2
C_3(t) = (0,2-t) con 0 \leq t \leq 2

Sus derivadas son:

C'_1(t) = (1,1) con 0 \leq t \leq \sqrt{2}
C'_2(t) = (-2\sin(t),2\cos(t)) con \pi/4 \leq t \leq \pi/2
C'_3(t) = (0,-1) con 0 \leq t \leq 2

Las normas de las derivadas son:

|C'_1(t)| = \sqrt{2} con 0 \leq t \leq 1/\sqrt{2}
|C'_2(t)| = 2 con \pi/4 \leq t \leq \pi/2
|C'_3(t)| = 1 con 0 \leq t \leq 1

Por lo tanto sus longitudes son

long(C_1) = \int_0^{\sqrt{2}} \sqrt{2}dt = 2
long(C_2) = \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2dt = \pi/2
long(C_3) = \int_0^2 dt = 2

Por lo tanto long(C) = 2 + \pi/2 + 2 = 4 + \pi/2

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7 comentarios en “Tp.7 Ej.2

  1. Hola, les felicito porque los ejercicios están bien desarrollados y explicados paso a paso lo cual hace que se pueda entender mejor,gracias.

    • Hola Juan,
      La curva C_3 es el segmento de recta del eje y entre el (0,2) y el (0,0) (con esa orientación).
      La que tomé yo no es la única parametrización posible, pero es una bastante sencilla, y respeta dicha orientación.

      Para parametrizar un segmento de entre dos puntos de A, B \in \mathbb{R}^2 siempre podés tomar g(t) = A + t(B-A) con 0 \leq t \leq 1. Si usas esa te queda g(t) = (0,2) + t(0,-2) = (0, 2-2t) con 0 \leq t \leq 1

      Como ves hay muchas parametrizaciones posibles, pero mientras mantengas la orientación la circulación te tiene que dar lo mismo.

      Saludos,
      Damián.

      • Hola disculpa la molestia, pero ahi pusiste que te queda (0, 2-2t) y en el ejercicio pusiste (0,2-t)? y otra pregunta por que en c1 es hasta 2^(1/2)? muchas gracias

      • Hola Juani,
        La respuesta a ambas preguntas es la misma: existen varias parametrizaciones para una misma curva.

        En el comentario anterior puse (0, 2-2t) con 0 \leq t \leq 1 y en el post puse (0, 2-t) con 0 \leq t \leq 2. Fijate que t varía distinto, pero el conjunto imágen es el mismo segmento de recta del (0,2) al (0,0).

        En C_1 elegí una parametrización tal que para terminar en (\sqrt{2}, \sqrt{2}), el intervalo dominio debe terminar en \sqrt{2}. También podría tomar (\sqrt{2}t, \sqrt{2}t) con 0 \leq t \leq 1

        Saludos,
        Damián.

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