Tp.8 Ej.13

Determine el volumen de un cuerpo cónico (cono circular recto) de altura h y ángulo de apertura w; ubíquelo en la posición mas conveniente para facilitar los cálculos.

La ecuación del cono sería:
z = h - k\sqrt{x^2 + y^2}

Pasamos a cilíndricas:
x = \rho \cos(\phi)
y = \rho \sin(\phi)
z = z
El jacobiano es \rho

La integral queda
\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{h/k} \rho d\rho \int_0^{h-k\rho} dz
= 2\pi \int_0^{h/k} \rho h - k \rho^2 d\rho

= 2 \pi [\frac{\rho^2}{2} h - k \frac{\rho^3}{3}]_0^{h/k}
= 2\pi \frac{h^3}{2k^2} - k \frac{h^3}{3k^3}
= 2\pi \frac{h^3}{2k^2} - \frac{h^3}{3k^2}
= 2\pi h^3 (\frac{1}{2k^2} - \frac{1}{3k^2})
= 2\pi h^3 \frac{1}{6k^2}
= \frac{\pi h^3}{3} \frac{1}{k^2}

Si notamos que \tan(w) = \frac{1}{k} nos queda:
= \frac{\pi h^3}{3} \tan^2(w)

El gráfico del cuerpo cuando h=k=1 es
tp8_ej13_bis
load(draw);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-red",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),1-u,u,0,4,v,0,2*%pi)
);

Problema #2

Calcular el flujo saliente del campo f(x,y,z)=(x,y,-x^2-y^2) a través de la superficie frontera del cuerpo H delimitado por:
x^2+y^2 \leq a^2
0 \leq z \leq a - b\sqrt{x^2+y^2}
(con a > 0 y b >1)
si se sabe que el volumen del cuerpo H es 617.

Si resolvés este problema podés escribir el resultado como contraseña del siguiente post y dejarnos un comentario de como lo resolvistes.

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Problema #1

Calcular la masa del cuerpo limitado por:
x^2+y^2+z^2 \leq \frac{4}{\sqrt{\pi}}
Si la función densidad de masa en cada punto es igual al doble de la diferencia de potencial del campo
f(x,y,z) = (2x,2y,2z)
entre el punto y el origen de coordenadas.

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Tp.9 Ej.5.c

Calcule el área de las siguientes superficies:
c) Trozo de cilindro x^2 + z^2 = 4 con -x \leq y \leq x, z \geq 0

Solución:
Es una superficie cilíndrica de radio 2 sobre el eje y.
Partiendo de las coordenadas cilíndricas:
x = \rho \cos(\phi)
y = y
z = \rho \sin(\phi)

podemos parametrizar nuestra superficie como:
S(u,v) = (2 \cos(u), v, 2 \sin(u))
Sus vectores tangentes son:
S'_u = (-2 \sin(u), 0, 2 \cos(u))
S'_v = (0, 1, 0)
Su producto vectorial:
S'_u \times S'_v = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ -2 \sin(u) & 0 & 2 \cos(u) \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right| = i(-2\cos(u)) - j(0) + k(-2\sin(u))
= (-2\cos(u), 0, -2\sin(u))
Su norma es:
|N| = \sqrt{4 \cos^2(u) + 4 \sin^2(u)} = 2

Ahora nos falta encontrar los límites de integración. Transformamos las restricciones originales:
-2\cos(u) \leq v \leq 2\cos(u)
2\sin(u) \geq 0

de la segunda restricción:
0 \leq u \leq \pi

Pero como -x \leq y \leq x entonces x \geq 0 por lo tanto 2\cos(u) \geq 0 o sea que en definitiva nos queda:
0 \leq u \leq \frac{\pi}{2}

El gráfico de la superficie es:
tp9_ej5c_bis
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(2*cos(u),v,2*sin(u),u,0,%pi/2,v,-2*cos(u),2*cos(u))
);

Reemplazando todo en la integral:
2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} du \int_{-2\cos(u)}^{2\cos(u)} dv

2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4 \cos(u) du

8 [\sin(u)]_0^{\pi/2} = 8(1-0) = 8

Tp.8 Ej.10.h

Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.
h) H definido por x^2 + 2y^2 + z \leq 32, z \geq x^2

Solución:

Analicemos primero como se intersectan las superficies que nos limitan el volumen, para eso igualamos
x^2 + 2y^2 + z = 32
z = x^2
de la segunda ecuación en la primera:
2x^2 + 2y^2 = 32
x^2 + y^2 = 16
o sea que la proyección sobre el plano xy es una circunferencia de radio 4.

El gráfico del cuerpo H es:
tp8_ej10h_bis
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),u^2*cos(v)^2,u,0,4,v,0,2*%pi),
color="light-red",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v), 32-u^2*cos(v)^2-2*u^2*sin(v)^2, u,0,4,v,0,2*%pi)
);

Aparentemente nos conviene pasar a coordenadas cilíndricas sobre el eje z:
x = \rho \cos(\phi)
y = \rho \sin(\phi)
z = z
y el jacobiano es:
|J| = \rho

Veamos como se transforman las superficies:
\rho^2\cos^2(\phi) + 2 \rho^2 \sin^2(\phi) + z = 32
z = \rho^2 \cos^2(\phi)

Por lo tanto la integral nos queda:
\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^4 \rho d\rho \int_{\rho^2\cos^2(\phi)}^{32-\rho^2\cos^2(\phi) - 2 \rho^2 \sin^2(\phi)} dz

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^4 \rho (32-2\rho^2) d\rho

2 \pi \int_0^4 32\rho - 2\rho^3 d\rho

2 \pi [16 \rho^2 - \frac{\rho^4}{2}]_0^4

2 \pi (256 - 128) = 256\pi

Es posible realizar animaciones con el software wxMaxima, por ejemplo podemos rotar el cuerpo H con el siguiente comando:
tp8_ej8_10h_ani
apply(draw, append([terminal=animated_gif, delay=20],
makelist(gr3d(
rot_horizontal=20*k, surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),u^2*cos(v)^2,u,0,4,v,0,2*%pi),
color="light-red",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v), 32-u^2*cos(v)^2-2*u^2*sin(v)^2, u,0,4,v,0,2*%pi)
),
k,0,18)))$