Ejercicio de Función Compuesta

Sea w = u^2 + u v^2 , con

u = xy + y

v = f(x,y)

resulta w = h(x,y)

Sabiendo que f queda definida implícitamente por

v - 2x + \ln(v+y) = 0

halle la mínima derivada direccional de h en (1,-1) e indique la dirección mínima.

Solución:

Partimos de (x,y) = (1,-1)

a esto le aplicamos una función g_1(x,y) = (xy+y, f(x,y)) y nos pasa al punto (u,v) = (-2,f(1,-1))

Reemplazando en la ecuación que define la función implícita sacamos f(1,-1):

v - 2 + \ln(v-1) = 0, entonces v = f(1,-1) = 2

por lo tanto nos deja en el punto (u,v) = (-2,2)

Finalmente a esto se le aplica una función g_2(u,v) = u^2 + uv^2 y nos deja en el punto w = 4 + (-2)4 = -4

La mínima derivada direccional vendrá dada por - |\nabla h| , y su dirección por - \nabla h, por lo tanto necesitamos primero calcular \nabla h

\nabla h = Dg_2 o Dg_1 = \begin{pmatrix}2u + v^2 & 2uv \end{pmatrix}|_{(-2,2)} o \begin{pmatrix} y & x + 1 \\ f'_x & f'_y \end{pmatrix}|_{(1,-1)}

Definiendo la función F(x,y,v) = v - 2x + \ln(v+y) las derivadas de la función implícita las sacamos como

F'_x = -2

F'_y = \frac{1}{v+y} = \frac{1}{2-1} = 1

F'_v = 1 + \frac{1}{v+y} = 1 + \frac{1}{2-1} = 2

f'_x = - \frac{F'_x}{F'_v} = - \frac{-2}{2} = 1

f'_y = - \frac{F'_y}{F'_v} = - \frac{1}{2}

Reemplazando nos va quedando:

\nabla h = Dg_2 o Dg_1 = \begin{pmatrix} 0 & -8 \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1/2 \end{pmatrix} = (-8, 4)

La máxima derivada direccional es | \nabla h | = \sqrt{(-8)^2 + 4^2} = 4 \sqrt{5}

Por lo tanto la mínima derivada direccional es -4\sqrt{5} y la dirección de mínima derivada direccional es (8,-4) \frac{1}{4\sqrt{5}}

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2 comentarios en “Ejercicio de Función Compuesta”

  1. Damián,
    Puede ser que haya un error al calcular f'(x). por medio de la implicita?
    El gradiente me da (-8, 4)

    Fijate que pusiste:
    -(-2/2) = -1

    Gracias

    Responder

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