Ejercicio de Función Implícita

Lunes, mayo 11th, 2009

La ecuacion imlicita: x^2 + x + y = 3 + z define la superficie S,
obtener la ec. de su plano tangente y la recta normal en el punto (1,1,Zo) de dicha superficie.

Solución:

Primero calculamos z_0, observemos que el punto A=(1,1,z_0)  nos dice que pertenece a la superficie, por lo tanto debe verificar la ecuación, reemplazando obtenemos:

1^2 + 1 + 1 = 3 + z_0

entonces,

z_0 = 0

Ahora necesitamos las derivadas para poder calcular el plano.

Este ejercicio podemos resolverlo de dos formas, ya que al poder despejar z de la ecuación original, puede resolverse por la forma explícita, o sinó, puede resolverse mediante el teorema de la función implícita.

Voy a resolverlo por el teorema de la función implícita, primero defino la función:

F(x,y,z) = x^2 + x + y - z - 3

con lo cual la ecuación implícita se corresponde a F(x,y,z)=0.

Calculemos las derivadas parciales de F:

\frac{\partial F}{\partial x} = 2x + 1

\frac{\partial F}{\partial y} = 1

\frac{\partial F}{\partial z} = -1

Podemos observar que todas las derivadas parciales existen y son contínuas, y que \frac{\partial F}{\partial z} \neq 0 para todo x,y,z, por lo tanto se cumplen las condiciones necesarias del teorema de la función implícita para todo punto, en particular para el punto pedido A=(1,1,0), en el cual nos da

\frac{\partial F}{\partial x} = 3

\frac{\partial F}{\partial y} = 1

\frac{\partial F}{\partial z} = -1

El teorema de la función implícita nos dice entonces que F define a z como función f(x,y) en el entorno del punto, y puedo calcular sus derivadas parciales de la siguiente forma

\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}} = - \frac{3}{-1} = 3

\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}} = - \frac{1}{-1} = 1

Por lo tanto la ecuación del plano tangente es:

z = z_o + f'_x (x - x_0) + f'_y(y - y_o)

= 0 + 3(x - 1) + 1(y - 1)

= 3x - 3 + y - 1

Finalmente:

z = 3x + y - 4

Una tercer forma de resolver este ejercicio sería usar el hecho de que el gradiente es normal a la superficie de nivel, por lo tanto \nabla F \cdot (X - X_0) = 0, es decir el plano tangente es:

(3,1,-1) (x-1,y-1,z) = 0

3x - 3 + y - 1 - z = 0

3x + y - z = 4

Podemos ver la superficie y el plano tangente en el siguiente gráfico:
implicita
draw3d(color=blue, surface_hide=true,
explicit(x^2 + x + y - 3,x,-6,8,y,-6,8),
color=yellow, explicit(3*x + y - 4,x,-6,8,y,-6,8),
color=red, line_width=4, parametric(1,1,0,t,0,10));

Anuncios

4 comentarios el “Ejercicio de Función Implícita

  1. jicnacho dice:

    Creo que hay un error al calcular la derivada de F respecto de x. Esta debería ser 2x + 1 en lugar de 2x + x.
    El resultado no cambia ya que el punto estudiado tiene 1 como valor de x.

  2. hola disculpa entonces como se haria estos ejercicios porque ya intente hacerlos
    como es el caso de: 2(y-x)=x/y

    y+2w/10=w2/5

    y2+3=x-5

    x+16/=y+3

    3y-pi/x=x3-y

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: