Ejercicio de Continuidad 2

Dado el campo escalar f(x,y) definida como:

f(x,y) = \begin{cases} f_1(x,y) = \frac{\sin(xy)}{\tan(3y)} & si \ y \neq 0 \\ f_2(x,y) = 0 & si \ y=0 \end{cases}

Analice la continuidad y la derivabilidad de f en los puntos (0,0) y (0,2).

Solución:

Voy a llamar a los puntos de la siguiente forma:

A: (0,0)
B: (0,2)

Analizo primero el punto A:

\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{\sin(xy)}{\tan(3y)}

Si me acerco por el eje x (y=0) tengo que usar f_2 y el límite da 0.

Si me acerco por el eje y (x=0)

\lim_{y \to 0} \frac{\sin(0)}{\tan(3y)} = 0

Por lo tanto me dió lo mismo por dos caminos distintos. Intentemos ver si el límite es válido para todos los caminos posibles. Si reescribo la función f_1 de la siguiente forma:

f_1(x,y) = \frac{\sin(xy)}{\frac{\sin(3y)}{\cos(3y)}} = \frac{\sin(xy)\cos(3y)}{\sin(3y)}

nos queda

\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(xy)\cos(3y)}{\sin(3y)} = \frac{3y \sin(xy) \cos(3y)}{3y \sin(3y)}

= \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3y}{\sin(3y)} \frac{\sin(xy)}{3y} \cos(3y) = \frac{3y}{\sin(3y)}\frac{1}{3}x\frac{\sin(xy)}{xy}\cos(3y)

= (\to 1)(\to \frac{1}{3})(\to 0)(\to 1)(\to 1) = 0

Por lo tanto la función es contínua en el origen.

En el punto B, tenemos que evaluar f_1(0,2) = 0 por no ser una indeterminación también es contínua en dicho punto.

Veamos la derivabilidad en A, si v_2 = 0 entonces la derivada direccional es 0, y si v_2 \neq 0:

\lim_{h \to 0} \frac{f(hv_1, hv_2)-f(0,0)}{h} = \frac{\sin(h^2v_1v_2) \cos(3hv_2)}{\sin(3hv_2)} \frac{1}{h}

= \frac{\frac{\sin(h^2v_1v_2)}{h^2v_1v_2} \cos(3hv_2)}{\frac{\sin(3hv_2)}{h^2v_1v_2}} \frac{1}{h}

= \frac{\frac{\cos(3hv_2)}{3hv_2}}{\frac{\sin(3hv_2)}{(h^2v_1v_2)(3hv_2)}} \frac{1}{h}

= \frac{(h^2v_1v_2)\cos(3hv_2)}{3hv_2} \frac{1}{h}

= \frac{v_1v_2}{3v_2}

= \frac{v_1}{3}

Por lo tanto es derivable en toda dirección en el punto A

Veamos si es derivable en el punto B

\lim_{h \to 0} \frac{f(hv_1, 2 + hv_2)-f(0,2)}{h} = \frac{\sin((hv_1)(2+hv_2)) \cos(3(2+ hv_2))}{\sin(3(2+hv_2))} \frac{1}{h}

\lim_{h \to 0} \frac{f(hv_1, 2 + hv_2)-f(0,2)}{h} = \frac{(hv_1)(2+hv_2)}{(hv_1)(2+hv_2)} \frac{\sin((hv_1)(2+hv_2)) \cos(3(2+ hv_2))}{\sin(3(2+hv_2))} \frac{1}{h}

\lim_{h \to 0} \frac{f(hv_1, 2 + hv_2)-f(0,2)}{h} = (2v_1 +hv_1v_2) \frac{\cos(3(2+ hv_2))}{\sin(3(2+hv_2))} = \frac{2}{\tan(6)} v_1

Por lo tanto también es derivable en B

El siguiente es el gráfico del campo escalar:
continuidad2
draw3d(color=blue, surface_hide=true,
explicit(sin(x*y)/tan(3*y),x,-3,3,y,-3,3));

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2 comentarios en “Ejercicio de Continuidad 2

  1. Hola Damián,
    Tal vez estoy equivocado, pero se puede afirmar la continuidad en el punto A solo con acercarnos por esos 2 caminos?
    Yo tenía entendido que hay que probar que el valor del limite es igual a la función por todos los caminos posibles

    • Hola jicnacho,
      Si te fijás bien, el tercer límite que hago no es por ningún camino en particular, ahora le agregué una aclaración, obviamente no se puede justificar continuidad si no se analizan todos los caminos posibles.
      De paso completé la parte de derivabilidad que no estaba hecha.
      Saludos,
      Damián.

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