Tp 4. Ej 7

Demuestre por definición que f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} / f(x,y) = \sqrt{4x^2+y^2} es continua pero no admite derivadas parciales en el origen.

Solución:

La continuidad es fácil de ver pues la función está definida en el origen, por lo tanto se cumplen las 3 condiciones:

1) \exists f(0,0) = \sqrt{4(0^2) + 0^2} = 0

2) \exists L = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{4x^2+y^2} = 0 por no ser una indeterminación.

3) f(0,0) = L = 0

Veamos ahora si existen las derivadas parciales, probamos primero con respecto a x :

f'_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f((0,0)+h(1,0)) - f(0,0)}{h} = \frac{f(h,0)}{h}

= \frac{\sqrt{4h^2 + 0^2}}{h} = 2\frac{|h|}{h}

Esté límite no existe porque da 2 si me acerco por los h positivos, y da -2 si me acerco por los h negativos, por lo tanto la derivada parcial respecto de x en el origen no existe.

De modo similar se puede ver que tampoco existe la derivada parcial respecto de y.

Si observamos el gráfico de la función, podemos ver que la superficie que genera es un semicono, lo cual permite ver que en el origen si bien es contínua (no hay saltos en el entorno), la misma no puede ser derivable en ninguna dirección ya que presenta un cambio de dirección brusco en ese punto (es la misma razón por la que la función f(x)=|x| no es derivable en x=0).

Podemos observar también, aunque esto es tema de la unidad siguiente que es diferenciabilidad, que un plano tangente no quedaría bien definido en dicho punto, ya que la superficie no es lo suficientemente suave.
tp4_ej7
draw3d(key="Semicono", color=blue,
explicit(sqrt(4*x^2+y^2),x,-1,1,y,-1,1),
surface_hide = true);

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