Tp 4. Ej 5

Miércoles, mayo 6th, 2009

Dada f(x,y) = \sqrt{3 - x^2 - y^2}, obtenga f'_y(1,0) observando el gráfico de la curva intersección de z=\sqrt{3-x^2-y^2} con x=1.

Este ejercicio es interesante ya que nos permite interpretar geométricamente la derivada como pendiente de una recta, incluso aunque la función sea de varias variables.

Primero analicemos el dominio en el que está definida la función, debe cumplirse

3-x^2-y^2 \geq 0

x^2 + y^2 \leq 3

Es decir son todos los puntos del disco de radio \sqrt{3} centrado en el origen.

Derivamos respecto de y usando la regla práctica, para eso primero reescribimos:

\sqrt{3 - x^2 - y^2} = (3-x^2-y^2)^{\frac{1}{2}}

Entonces:

f'_y(x,y) = \frac{1}{2}(3-x^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}(-2y) = \frac{-y}{\sqrt{3-x^2-y^2}}

f'_y(1,0) = \frac{-0}{\sqrt{3 - 1 - 0}} = 0

Es decir la derivada pedida existe y vale 0, o lo que es lo mismo la pendiente es nula en esa dirección.

Interpretemos ahora esto con la curva intersección de la superficie z =\sqrt{3-x^2-y^2} con x=1, para eso primero parametrizamos la curva intersección.  Si reemplazamos de la segunda ecuación en la primera nos queda z=\sqrt{2-y^2} que es una semicircunferencia de radio \sqrt{2} .  La parametrizo como:

C(t) = (1, t, \sqrt{2-t^2}) = (1,t,(2-t^2)^{\frac{1}{2}})

En (x,y) = (1,0) la curva se encuentra en (1,0,\sqrt{2}) y el valor del parámetro es t=0.

Derivo la curva:

C'(t) = (0,1,\frac{1}{2}(2-t^2)^{-\frac{1}{2}}(-2t)) = (0, 1, \frac{-t}{\sqrt{2-t^2}})

C'(0) = (0,1,0) es el vector tangente a la curva en dicho punto.  Y por lo tanto la recta tangente es r(t)=(1,t,\sqrt{2}) que es una recta horizontal (paralela al plano xy).

Veamos todo esto en el gráfico, nuestra función original nos definía una superficie que es la parte z-positiva de una semiesfera.

La intersección con el plano nos daba una curva que es una semicircunferencia.  La recta tangente a esa curva tiene la pendiente de la derivada parcial que calculamos y es nula.
tp4_ej5
El comando que se utilizó para generar la imagen con el software Máxima es:
load(draw);

draw3d(key="Semiesfera", color=black,
explicit(sqrt(3-x^2-y^2),x,-3,3,y,-3,3),
key="Curva", color=red,line_width=2,
parametric(1,sqrt(2)*cos(t),sqrt(2)*sin(t), t,0,%pi),
key="Recta tangente", color=blue, line_width = 2,
parametric(1, t, sqrt(2),t,-3,3),
surface_hide = true);

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