Tp 4. Ej 11

Sea P una partícula que se desplaza en el espacio xyz según la trayectoria definida por X=3t^2 i + (2-t) j +2t^2 k, con t \geq 0 tiempo en seg; si S es la superficie de ecuación x = y^2+z

a) calcule el ángulo entre los vectores velocidad y aceleración de P en el instante que atraviesa a S

b) calcule el tiempo que tardará P en llegar desde S al plano de ecuación x-z+2y = 7

Solución:

a)

Primero escribo la trayectoria en forma paramétrica:

C(t) = (3t^2, 2-t, 2t^2) con t \geq 0

Por lo tanto la trayectoria parte desde C(0) = (0, 2, 0)

Necesitamos saber cuando llega a S, para eso intersectamos la curva con la superficie:

x = y^2+z

3t^2 = (2-t)^2 + 2t^2

t^2 = 4 - 4t + t^2

4-4t = 0

t = 1

Por lo tanto el punto en el que llega es C(1) = (3,1,2)

Calculamos las derivadas primera y segunda para obtener los vectores velocidad y aceleración:

C'(t) = (6t, -1, 4t) entonces C'(1) = (6, -1, 4)

C''(t) = (6,0, 4) entonces C''(1) = (6,0, 4)

El ángulo entre dos vectores se puede calcular a partir del producto escalar, es decir recordando que

v \cdot w = |v| |w| cos(\phi)

podemos despejar el ángulo como

\phi = \arccos(\frac{v \cdot w}{|v| |w|})

Reemplazando con los vectores de nuestro ejercicio

\phi = \arccos(\frac{52}{2 \sqrt{13} \sqrt{53}}) = \arccos(\frac{2\sqrt{689}}{53})

b) Veamos cuando llega al plano que voy a llamar \pi, para ello intersectamos la curva con el plano

x-z+2y = 7

3t^2 -2t^2 + 2(2-t) = 7

t^2 + 4 - 2t = 7

t^2 - 2t -3 = 0

\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}

por lo tanto los valores posibles son t = -1 (lo descarto por ser anterior al inicio de la trayectoria) y t = 3 (es decir llega al punto C(3) = (27, -1, 18)

Finalmente, el tiempo que tarda en llegar desde S hasta \pi es 3-1= 2 segundos.

En el siguiente gráfico podemos observar la trayectoria como la curva de color negro, la superficie S de color azul, y el plano \pi de color rojo, así como los 3 puntos de la trayectoria inicial C(0), donde llega a S C(1) y cuando llega a \pi C(3)
tp4_ej11
draw3d(key="S", color=blue,
explicit(x-y^2,x,-1,30,y,-2,4),
surface_hide=true,
key="Pi", color=red,
explicit(x+2*y-7,x,-1,30,y,-2,4),
key="Trayectoria", color=black, line_width = 2,
parametric(3*t^2, 2-t, 2*t^2, t,-2,4),
key="Inicio", color=brown, line_width=5,
parametric(0,2,0,t,-2,4),
key="Intermedio", color=cyan, line_width=5,
parametric(3,1,2,t,-2,4),
key="Final", color=green, line_width=5,
parametric(27,-1,18,t,-2,4)
);

Anuncios

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s