Sea definida como:
si
si
Analice continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad en el origen.
En el origen la función vale
Si me acerco por el eje y (x=0) me estoy acercando por la función que tiende a 0 cuando y tiende a cero, por lo tanto por ahora se verifica la continuidad, pero no puedo asegurar nada. Analizo los otros caminos con el límite sobre
Veamos que pasa en polares
por lo tanto el límite varía según el ángulo y como no es único puedo afirmar que no existe el límite doble, y por lo tanto la función no es contínua.
Ya puedo contestar también que no es diferenciable, por no ser contínua.
Analicemos ahora la derivabilidad.
Por el eje y (x=0) es derivable ya que nos queda la función y la derivada es
, por lo tanto en la dirección
la derivada vale
Veamos en las otras direcciones
Este límite solo existe cuando el numerador se anula, esto es
Como tenemos (pues esa dirección ya la analizamos), nos queda
Por lo tanto solo es derivable en las direcciones paralelo al eje y, y cuando , y el valor de la derivada en esas direcciones es 0.