Ejercicio Continuidad,Derivabilidad,Diferenciabilidad

Sea f(x,y) definida como:

f_1(x,y) = \frac{2x^2 - 3xy}{x^2 + y^2} si x \neq 0

f_2(x,y) = \sin(x+y) si x = 0

Analice continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad en el origen.

En el origen la función vale f_2(0,0) = \sin(0 + 0) = 0

Si me acerco por el eje y (x=0) me estoy acercando por la función \sin(y) que tiende a 0 cuando y tiende a cero, por lo tanto por ahora se verifica la continuidad, pero no puedo asegurar nada.  Analizo los otros caminos con el límite sobre f_1

\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2x^2 - 3xy}{x^2 + y^2}

Veamos que pasa en polares

\lim_{\rho \to 0} \frac{2\rho^2\cos^2(\phi) - 3 \rho^2\cos(\phi)\sin(\phi)}{\rho^2} = 2\cos^2(\phi) - 3\cos(\phi)\sin(\phi)

por lo tanto el límite varía según el ángulo y como no es único puedo afirmar que no existe el límite doble, y por lo tanto la función no es contínua.

Ya puedo contestar también que no es diferenciable, por no ser contínua.

Analicemos ahora la derivabilidad.

Por el eje y (x=0) es derivable ya que nos queda la función \sin(y) y la derivada es \cos(y), por lo tanto en la dirección (0,1) la derivada vale \cos(0) = 1

Veamos en las otras direcciones

\lim_{h \to 0} \frac{f((0,0) + h(v_1, v_2)) - f(0,0)}{h} = \frac{f(hv_1, hv_2)}{h} = (\frac{2h^2v_1^2 - 3h^2v_1v_2}{h^2})(\frac{1}{h}) = \frac{2v_1^2-3v_1v_2}{h}

Este límite solo existe cuando el numerador se anula, esto es

2v_1^2 - 3v_1v_2 = 0

2v_1^2 = 3v_1v_2

Como tenemos v_1 \neq 0 (pues esa dirección ya la analizamos), nos queda v_1 = \frac{3}{2}v_2

Por lo tanto solo es derivable en las direcciones paralelo al eje y, y cuando v_1 = \frac{3}{2}v_2, y el valor de la derivada en esas direcciones es 0.

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