Ejercicio de Continuidad

Jueves, abril 23rd, 2009

Estudie la continuidad de:

f(x,y) = \frac{(y-1)x^2 - x^3}{x^2 + (y-1)^2} si (x,y) \neq (0,1)

f(x,y) = 0 si (x,y) = (0,1)

Solucion:

Es una indeterminación del tipo \frac{0}{0} , pero si miramos bien pareciera haber un deplazamiento en el eje y de una unidad, es decir nos simplificaría un poco empezar por hacer una sustitución del tipo:

w = y-1

y \to 1 implica w \to 0

Por lo tanto la función nos queda como:

f(x,w) = \frac{w x^2 - x^3}{x^2 + w^2} si (x,w) \neq (0,0)

f(x,w) = 0 si (x,w) = (0,0)

Como en el denominador veo x^2 + w^2 se me ocurre empezar por ver que pasa si intentamos el método de pasar a polares:

x = \rho \cos(\phi)

w = \rho \sin(\phi)

Con 0 \leq \rho \leq \infty y 0 \leq \phi \leq 2\pi

Para que sea continua tiene que existir y valer 0 el siguiente límite:

\lim_{\rho \to 0} \frac{\rho \sin(\phi) \rho^2 \cos^2(\phi) - \rho^3 \cos^3(\phi)}{\rho^2 \cos^2(\phi) + \rho^2 \sin^2(\phi)}

\lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^3 \sin(\phi) \cos^2(\phi) - \rho^3 \cos^3(\phi)}{\rho^2}

\lim_{\rho \to 0} \rho (\sin(\phi) \cos^2(\phi) - \cos^3(\phi) ) = 0 (por resultar infinitésimo por acotado).

Por lo tanto se cumplen las 3 condiciones necesarias (existe la función en el punto, existe el límite, y valen lo mismo) y podemos afirmar que la función es contínua en dicho punto.

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Un comentario el “Ejercicio de Continuidad

  1. Jesica dice:

    Hola, dejo el comentario por acá porque en el ejercicio puntual no me deja.
    No entiendo porque en el ejercicio Tp3 Ej11 punto a- , sólo alcanza con probar que el limite existe por coord polares y da 0. Ya que en otros ejercicios de este Tp lo que hacemos es probar que no existen los limites, justamente porque probando que existe por un camino, no asegura que exista por todos.
    Me perdi o me marie con la teoria me parece.
    Gracias!

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