Tp 1. Ej 19

Miércoles, abril 22nd, 2009

Si y_p es S.P. que pasa por (2,3) de x^2y'' - 2y = f(x) , verifique que y = x y_p es S.P. de la ecuación diferencial xy'' - 2y' = f(x) que pasa por (2,y_0); halle y_0.

Solución:

Si y = x y_p entonces

y' = y_p + x y'_p

y'' = y'_p + y'_p + xy''_p

= 2y'_p + xy''_p

Reemplazando en la segunda ecuación diferencial

xy'' - 2y' = f(x)

x(2y'_p+xy''_p) - 2(y_p + xy'_p) = f(x)

2xy'_p+x^2y''_p - 2y_p - 2xy'_p = f(x)

x^2y''_p - 2y_p= f(x)

Lo cual es cierto porque y_p es S.P. de la primer ecuación diferencial, por lo tanto y = x y_p es S.P. de la segunda ecuación diferencial.

Ahora la segunda parte, nos dice que y_p pasa por (2,3) , de la ecuación y = x y_p nos queda

y_0 = 2 \cdot 3 = 6

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2 comentarios el “Tp 1. Ej 19

  1. Matias dice:

    No entiendo porque una vez que llegas a x^2.yp” – 2.yp = f(x) concluis que es S.P de la segunda. Tampoco entendi porque reemplazas el valor de yp por 3, en vez de reemplazar el valor de y por 3 y despejar yp.

    Muchas gracias!

    • damidami dice:

      Hola Matias,
      Como y_p es solución particular de la primera ec. dif, y xy_p es solución particular de la segunda ec. dif, y como queremos verificar esto último, al reemplazar xy_p en la segunda ecuación diferencial debo mostrar que se cumple para todo xy.
      Como llegamos a x^2y_p''-2y_p = f(x) podemos decir que se verifica para todo xy ya que y_p era solución particular de la primera ec. dif. (y nos queda una expresión igual a la primera ec. dif. pero en el caso particular de y_p).
      Con respecto a la segunda pregunta, nos piden calcular y_0, que es un valor específico de y (que se da cuando x=2). Reemplazo 3 en y_p porque es dato (fijate que dice que y_p pasa por el (2,3)), por lo tanto no interesa calcular y_p sino y, que lo despejo de la relación entre ambos y=xy_p reemplazando los valores en el punto.
      Espero haberte aclarado un poco las dudas,
      Saludos,
      Damián.

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