Consultas Cursos Z2063 y Z2164 (1er cuatrimestre 2009)

Este post lo dejo creado para que puedan escribir en los comentarios las consultas que tengas sobre los ejercicios.

Recordá que podés escribir fórmulas usando comandos latex, por ejemplo si escribís $latex \int_0^1 x^2 dx $ se ve como \int_0^1 x^2 dx, y siempre podés previsualizar el comentario para ver si quedó bien.

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50 comentarios en “Consultas Cursos Z2063 y Z2164 (1er cuatrimestre 2009)

  1. TP4-Ej, 4d

    Cono este ej. el resultado y me da igual que en la guia. Pero no estoy seguro si los pasos o la forma de resolver este ejercicio es la correcta.
    A continuacion, esta mi resolucion.
    Saludos.

    Busco f’x(0,1):
    \frac{x^3+(y-1)^2}{x^2+(y-1)^2}
    \lim_{x\rightarrow0} \frac{f(x,0)-f(0,1)}{x-0}
    \lim_{x\rightarrow0} \frac{0+1}{0+1}=1
    Entonces f’x(0,1) exsite.

    Ahora busco f’y(0,1):
    \lim_{x\rightarrow0} \frac{f(0,y)-f(0,1)}{y-1}
    \lim_{y\rightarrow1} \frac{\frac{(y-1)^2}{(y-1)^2}}{(y-1)}
    \lim_{y\rightarrow1} \frac{1}{(y-1)}
    \lim_{y\rightarrow1} \frac{1}{(y-1)}=\nexists \lim_{y\rightarrow1} f'y(0,1)

    • Me olvide el enunciado del ej. TP4, ej(4d).
      Analice por definicion la existencia de las derivadas parciales de f’ en el punto A; cuando sea posible verifique aplicando la regla practica de derivacion.

      f(x,y) = \frac{x^3 + (y-1)^2}{x^2 + (y-1)^2} \qquad si \, (x,y)\neq(0,1)

      f(x,y) = 0 \qquad si \, (x,y)=(0,1)

  2. Hola Pablo,
    A mi me gusta más la definición de derivadas que usa el incremento h, aunque no está mal la que usastes vos.
    Por lo que veo f'_y está bien calculado (no existe), lo que si en f'_x si bien llegás al resultado correcto no temino de ver que pasó con la x que estaba en el límite, o sea me parece que te debería quedar algo parecido a \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^3} = 1
    También podés ver acá la resolución que subí usando el incremento h para calcular la derivada.
    https://analisis2.wordpress.com/2009/04/30/tp-4-ej-4d/

  3. Hola Damian,
    Resolvi este ejercicio de un parcial. Y me da que no no es continuo. Una de las deribadas parciales no existe (por lo tanto no es deribable). Al final el ej. pregunta si no es diferenciable y no lo es porque no es continua.
    Enunciado
    f1(x,y)= \frac{2x^2 - 3xy}{x^2 + y^2} \qquad x\neq0
    f2(x,y)= sin (x+y) \qquad x=0

    a) Analice continuidad de f en Xo=(0,0)
    b) Analice deribabilidad de f en (0,0) para todo vector u.
    c) f es diferenciable en (0,0) ?
    Mi solucion:

    Si es continua debe existir, el lim doble de f1(x,y), entonces:
    \lim_{y\rightarrow0}\left[\lim_{x\rightarrow0} \frac{2x^2 - 3xy}{x^2 + y^2} \right] = \lim_{y\rightarrow0} \frac{0}{y^2}=0

    \lim_{x\rightarrow0} \left[\lim_{y\rightarrow0} \frac{2x^2 +3xy}{x^2 + y^2}\right] = \lim_{x\rightarrow0} \frac{2x^2}{x^2} = 2

    Como estos dos lim son distintos no existe el lim doble, por lo tanto, no es continua en (0,0).

    Ahora, la deribabilidad de f(0,0).
    f'x(0,0) = \lim_{x\rightarrow0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0} =
    \lim_{x\rightarrow0} \frac{\frac{2x^2}{x^2}-sin(x+y)}{x-0}=
    \lim_{x\rightarrow0} \frac{2-sin(x+y)}{x}=
    \lim_{x\rightarrow0} \frac{2-sin(x)}{x}=
    \lim_{x\rightarrow0} \frac{2}{x} - \lim_{x\rightarrow0} \frac{sin(x)}{x}= \propto

    Entonces, f’x(0,0) no existe.

    Ahora, f’y(0,0):
    f'y(0,0) = \lim_{y\rightarrow0} \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0} =
    \lim_{y\rightarrow0} \frac{0 - sin(x+y)}{y} = lim_{y\rightarrow0} \frac{sin y}{y} = 1
    f’y(0,0)=1
    No es deribale porque f’x(0,0) no existe.

    Es diferenciable ?:
    No lo es, pues no cumple, la condicion necesaria, ya que no es continua en (0,0).

  4. Hola Pablo,
    Cuando analizás la continuidad mediante los límites iterados tenés que tener cuidado porque si está bien tipeado la función está partida y en el eje y tendrías que haber tomado f_2, con lo cual el límite también te hiba a dar 0 y no podías afirmar nada.
    Suponiendo que averiguás que la función no es contínua, es correcto decir que entonces no es diferenciable.
    Con respecto a derivabilidad, fijate que te pregunta para todo vector u, no solo las derivadas parciales, sino en todas las direcciones posibles, para eso tenés que usar la definición de derivada direccional.
    Acá podés ver mi resolución, pero por las dudas revisalo y cualquier duda me preguntás:
    https://analisis2.wordpress.com/2009/05/05/ejercicio-continuidadderivabilidaddiferenciabilidad/

  5. Hola Damian,

    Intente resolver este ejercicio.Si grafico la funcionpuedo ver que es continua en (0,0). Pero me da que es

    discontinua.
    Enunciado:
    Dado el campo escalar :
    f1(x,y)= \frac{sin(xy)}{\tan(3y)} \qquad y\neq0
    f2(x,y)= 0 \qquad y=0

    Analice la continuidad y la derivabilidad de f en los puntos (0,0) y (0,2).
    Mi solucion:
    \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{\sin(xy)}{\tan(3y)} = \frac{\rightarrow 0}{\rightarrow 0}

    Si me acerco por el eje x (y=0)
    \lim_{x\rightarrow 0} \left[\lim_{y\rightarrow0} \frac{\sin(xy)}{\tan(3y)} \right] = \frac{\rightarrow 0}{\rightarrow 0}

    Si me acerco por el eje y (x=0)
    \lim_{y\rightarrow 0} \left[\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin(xy)}{\tan(3y)} \right] = \frac{0}{\rightarrow 0} = 0

    Si me acerco por la recta x=3:
    \lim_{x=3, y\rightarrow 0} \frac{\sin(3y)}{\frac{\sin(3y)}{cos(3y)}}= \lim_{x=3, y\rightarrow0} \cos(3y) = 1
    En este caso el lim es distinto y por eso digo que no es continua. Quisas hay otra forma de encarar este ejercicio ?.

    Muchas gracias,

  6. Hola Pablo,
    Fijate que la función está definida por f_2 cuando y=0, por eso el límite cuando te acercás por el eje x no es indeterminado, es cero.
    Por otro lado, no se a que punto te querés acercar por la recta x=3, ya que la misma no pasa ni por el (0,0) ni por el (0,2), así que no te sirve para analizar esos puntos.
    Efectivamente el gráfico de la función parece decir que es contínua e incluso diferenciable en el origen, no lo resolví entero porque la parte de derivada parecía muy extenso, pero podés ver el desarrollo que hice para la parte de continuidad, espero que te sirva:
    https://analisis2.wordpress.com/2009/05/08/ejercicio-de-continuidad-2/

  7. Hola Damian,
    Intente resolver este ej. de un parcial, pero me da una division por cero y no se como seguir.
    Enunciado:

    La ecuacion imlicita:
    x^{2} + x + y = 3 + z
    define la superficie S,
    obtener la ec. de su plano tangente y la recta normal en el punto (1,1,Zo)
    de dicha superficie.

    Mi solucion:
    aplico Cauchy-dini

    Si Zo=0, entonces, el punto A=(1,1,0)
    F'x = \frac{-f'x}{f'z} =

    Si F’x la especializo en A=(1,1,0)
    \frac{-1}{(e^z - 1)} = \frac {-1}{0}
    Y aca, ya no puedo seguir.

    La idea era usar que:
    \nabla F(1,1) = (F’x(1,1), F’y(1,1))
    y con ese gradiente, sacar el plano tangente con:

    \nabla F(1,1).(x-1, y-1, z-0) = 0

  8. Hola Pablo,
    Ahora que lo vuelvo a leer me parece que escribistes algo mal en el enunciado de ese ejercicio. Si está bien copiado la resolución la subí acá:
    https://analisis2.wordpress.com/2009/05/11/ejercicio-de-funcion-implicita/
    Fijate que te puede servir incluso aunque esté mal copiado.

    Te digo porque si está bien copiado, podés despejar z de la ecuación, y sale directo, sin necesidad de usar Cauchi-Dini, ni gradiente normal a la superficie de nivel, ni nada, y porque veo que pusistes e^z-1 en el denominador lo cual no podría ser si la ecuación fuese tan sencilla.

    Suponiendo que el enunciado está mal copiado pero el desarrollo que planteás está bien (ojo, fijate que usas F mayúscula para la explícita y f minúscula para la implícita, lo normal es hacerlo al revés), entonces como F'_z = 0 no se cumple una condición necesaria de Cauchi-Dini, y no podés aplicar ese teorema, pero si podés usar el teorema de que el gradiente es normal a la superficie de nivel. En mi resolución apliqué ambos métodos, podés basarte en eso para resolverlo.
    Otra cosa, vi que al final haces un producto escalar de un vector de dos componentes por otro vector de tres componentes, revisalo que algo no cierra del todo 😉

  9. Hola Damian,

    Estoy tratando de resolver este ejercicio de un parcial del 24/05/2007.
    No le encuentro la vuelta a la parametrizacion de una curva.
    (Solo decime como parametrizar la curva) y de ahi lo sigo resolviendo yo.
    Enunciado:
    Dada la curva C:
    C1= x - yz \ln (x) - \cos (yz) = 0
    C2 = x^2 + y^3 + zx - yz^2 - 6 = 0
    Analizar si la recta tangente a C en el punto (1,0,Zo) esta contenida en el plano de la ecuacion Z=5x + 25y

    Muchas gracias,
    Pablo.

  10. Hola Pablo,
    En ese ejercicio parametrizar la curva es muy difícil, y está hecho así a propósito para que te des cuenta que hay otra forma de resolverlo sin parametrizarla, que es usando la propiedad de que el gradiente es normal a las superficies de nivel.
    Entonces calculando el gradiente de las dos funciones, los multiplicás vectorialmente, y te da el vector tangente a la curva, con lo cual podés calcular la recta tangente a la curva y ver si está contenida en el plano.

  11. Damian,
    Reescribo, porque el anterior no salio bien.
    Entiendo, bueno, si entendi,
    C1 = x - yz\ln(x) - \cos(yz) = 0
    C2 = x^2 + y^3 + zy - yz^2 - 6 = 0
    El punto A=(1,0,5) , que lo obtuve de Z = 5x + 25y

    Ahora los gradientes.

    \nabla (C1) = (1- \frac{yz}{x}; -z\ln(x) - (-\sin(yz)z); -y\ln(x) + \sin(y) )
    \nabla (C2) = (2x+z; 3y^2 - z^2; -2xyz)

    Ahora especializo cada gradiente en el punto A=(1,0,5) y se hace el producto vectorial.

    \begin{pmatrix} {i}\\  {1}\\  {7}\end{pmatrix} = (0,0,-25)

    Ec. del Plano: Z=5x+25y
    Gradiente del plano (que es el vector normal al plano) \nabla f(A) = (5,25,-1)

    Entonces si la recta tangente a C en el punto (1,0,Zo) esta contenida en el plano de la ec. Z=5x+25y

    El producto escalar de (5,25,-1) (0,0,-25) = 25 \neq 0
    Para que la recta tg a la curva C este contenida en el plano de ec. Z=5x+25y
    Su producto escalar deve ser = 0.
    Por lo tanto la curva C no esta contenida en el plano.

  12. Hola Pablo,

    Fijate que si te sale mal el código latex de un comentario podés editarlo, así no necesitás crear otros nuevos.
    Por lo que veo la idea general está bien, aunque encontré algunos errores en las cuentas y el código latex en general.
    También el hecho de que z_0 = 5 yo lo sacaría de la segunda ecuación y no del plano, ya que precisamente queremos averiguar si ese punto (y el resto de la recta) pertenece o no al plano, pero estamos seguro que ese punto pertenece a la superficie de la segunda ecuación (y de la primera).

  13. Hola Damian,

    Intente resolver, este ejercicio. Pero creo que no esta bien hecho.
    Enunciado:
    Sea w=u^2 + uv^2 con
    u=xy+y
    v=f(x,y)
    Resulta latex$ w=h(x,y) $
    Sabiendo que f queda definida implicitamente por
    v - 2x + \ln (v+y) =0
    halle la minima deriv. direccional de en (1,-1) e indique la direccion minima.

    Si (x,y) = (1,-1), de la ec. implicita obtengo que (u,v)=(-2,2).
    Para hallar la derivada direccional minima, devo tener el gradiente de latex$ w=h(x,y) $
    Entonces busco h’u y h’v.
    h'u = 2u + v^2
    h’v es la derivada implicita de f.
    f’x = – \frac{\frac{\varphi F}{\varphi x}}{\frac{\varphi F}{\varphi z}}
    f’y = – \frac{\frac{\varphi F}{\varphi y}}{\frac{\varphi F}{\varphi z}}

    Pero no puedo obtener \frac{\varphi F}{\varphi z}
    Me parece que en algo me equivoque y no se en donde.

  14. Hola Damian,
    El ejercicio anterior, me ayudo a poder encacar la resolucion del siguiente y ahora me parece que me acerque mas al resultado.
    PD: no encuentro la opcion de previsualizar lo que escribo.
    Pablo.

    Enunciado:
    Dada z=f(u,v)
    con f(u,v)=u^{2}+ve^{4u - v}
    Con u=g(x,y);\qquad v=y^2,\qquad resulta \qquad z=h(x,y)
    Halle las direcciones de u para que h'(Xo, u)=0.
    Sabiendo que Xo=(1,2)\qquad y que g queda definida implicitamente por la ec, 2xy -uy - \ln (u) -2=0

    Mi solucion:
    si \qquad Xo(1,2) \Rightarrow (u,v)=(1,4)
    Devo llegar a que \nabla h(Xo) = [f'x, f'y].u=0
    f'x = - \frac{F'x}{F'u} = - \frac{4}{-3} = \frac{4}{3}
    f'y = - \frac{F'y}{F'u} = - \frac{1}{-3} = \frac{1}{3}

    si \qquad [f'x, f'y].u=0\quad\Rightarrow (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}).u =0
    Del producto escalar, sale que:
    (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}).(\frac{3}{4}, -3) =0

    Y la direccion u=(\frac{3}{4}, -3)

  15. Hola Damian,
    Estoy tratando de resolver este ejercicio y me encuentro con una pared.
    Enunciado.
    La curva C esta trazada sobre la superficie de ec. z=xy+x^2
    La proyeccion de C sobre el plano xy tiene ecuacion cartesiana
    x+y=2
    Analice si la recta tangente a C en (1,1,Zo) tiene algun punto en comun con el plano xz.

    Segun mi interpretacion, la recta tangente a la curva C esta contenida, en el plano tangente a la superficie z=xy+x^2
    Para el analisis que pide el ej., se que necesito el gradiente para sacar la recta tangente.
    Y para saber si existe algun punto en comun deveria parametrizar la curva ?. Bueno pero de ahi en mas no se como llegar el punto en comun con el plano xz.
    Tenes alguna observacion al respecto ?

    Obtengo el gradiente:
    F(Xo) = (1,1,Zo)
    F(x,y,z) = xy+x^2 " gradiente de F: latex \nabla F(x,y,z) = (y+2x,y,-1) $
    \nabla F(Xo) = (3,1,-1)

    Ec de la recta tangente: r(\gamma) = X(to) + \gamma X'(to)   \qquad  con \qquad gamma \epsilon R

    Ahora parametrizo la curva:
    Si x=t
    y=2-x
    y=2-t
    y=2-t
    z=xy+x^2
    (2-t)t + t^2
    z=2t
    La curva queda: C=(t, 2-t, 2t)

    Y hasta ahi llego, no se como ver si hay un un punto en comun con el plano xz.

    Saludos,
    Pablo.

  16. Hola Pablo,
    En el ejercicio del lunes 18, sobre el final escribís \nabla h y lo interpretás como (f'_x, f'_y), lo cual es incorrecto ya que f es la función implícita, mientras que h es la compuesta.
    Revisalo porque te faltó toda la parte de la regla de la cadena.

    En wordpress no hay una previsualización del comentario, pero una vez que lo enviás tengo entendido que te deja editarlo (hay un botón editar al lado del de responder, en cada comentario), cualquier cosa avisame, a mi me aparece el botón de editar pero no se si será un tema de permisos.

    Con respecto al ejercicio del miércoles 20, si bien es cierto que la recta tangente debe estar incluída en el plano tangente, no se para que calculás el vector gradiente ni porqué decís “se que necesito el gradiente para sacar la recta tangente”, ya que con el gradiente no te alcanzaría para sacar la recta tangente. Lo que te conviene hacer es primero parametrizar la curva, derivarla, sacar la recta tangente, y ver si dicha recta intersecta al plano.

    Me parece que la parametrización de la curva la hicistes bien, en ese caso la curva es una recta por lo tanto su recta tangente es si misma.
    Para ver si intersecta al plano xz, lo reemplazás en la ecuación del plano xz que es y=0, es decir sería 2-t=0 por lo tanto t=2 y por lo tanto efectivamente intersecta a dicho plano en el punto (2, 0, 4)

    • Hola Damian,

      Estube mirando el ejercicio del lunes 18, es verdad, no interprete bien el \nabla h , a partir de eso lo resolvi mejor.

      Con el otro ejercicio, me di cuenta, que no es necesario tener el gradiente.
      Y si, el punto (2,0,4)
      Cumple con la ecuacion del plano: z = xy + x^2 .

      Muchas gracias por tus sugerencias.
      Cuando envio un comentario, aparece un boton pero al pulsar sobre el no pasa nada (es decir esta, pero inhabilidato)

      Pablo.

  17. Hola Damian,

    resolvi un ejercicio de parcial. Me podrias decir si esta bien resuelto ?
    Aca esta el enunciado:
    Sea la superficie de ecuacion, z=x^2 + y^2
    analice si la recta normal a S en el punto (1,1,2)
    corta el cilindro z=x^2 +2
    En caso afirmativo halle los puntos correspondientes.

    Mi solucion:
    F(x,y,z) = x^2 + y^2 - z = 0
    \nabla F (2x,2y,-1)
    El punto A=(1,1,2)
    \nabla F(A)=(2,2,1)
    La recta normal es: (1,1,2) + t(2,2,-1)
    (1+2t, 1+2t, 2-t) \qquad \equiv \qquad (x,y,z)

    EL Cilindro es: z=x^2 +2
    Entonces:
    2-t=(1+2t)^2 + 2
    2-t=1+4t+4t^2 +2
    1+5t +4t^2 =0
    Utilizo la cuadratica para resolver que: 4t^2+5t+1
    \frac {-5 +- \sqrt[2]{25 - 16}}{8}
    Obtebgo que: t=-1 \quad \vee \quad t=- \frac{1}{4}
    Y con los dos valores de t, puedo sacer los puntos B y C.
    Si t=-1 \quad \Rightarrow \quad B(-1,-1,3)
    Si t=\frac{-1}{4} \quad \Rightarrow \quad B(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{9}{4})

  18. Hola Pablo,

    Seguí los pasos y salvo algunos errores de tipeo intermedios veo que el procedimiento y el resultado final al que llegás son correctos. 🙂

  19. Hola Damian,

    Estoy intentando resolver, este ejerccio:
    TP7-ej5.: Halle las coordenas del centro de gravedad de un alambre filiforme cuya densidad lineal en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z; si la forma del alambre queda determinada por la interseccion de:
    x+y+z=4
    con y=2x \qquad en \, el \, primer \, octante.

    Entonces si la forma del alambre queda determinada por la interseccion de los 2 planos.
    $ latex z=-3x +4 $
    Las coordenadas son:
    $ latex G = (\frac{My}{M}, \frac{Mx}{M}) $
    Lo que no se, es como aplicar esta formula en la integral de linea.
    Agradezco tus sugerencias.

    Pablo.

  20. Hola Damian,

    Estoy intentando resolver el ejercicio 9 del TP8.
    Y cuando quiero pasar a coordenadas polares se que debo utilizar que
    x=r \sin(\Theta )
    x=r \cos(\Theta )
    y que: dA=rdrd\Theta
    Pero me parece que no dejo bien planteada la integral, puede ser ?
    Escribo el enunciado y mi solucion.
    Calcule \iint_{D}^{} \frac {x+4y}{x^2} dxdy
    con D: x \geq y \quad, x+4y \leq 4 \quad , y \geq 0
    usando coordenadas polares.

    Mi solucion:
    Si, x \geq y \quad, y \geq 0
    entonces el area, pertenece al primer cuadrante y
    0 \leq \Theta \leq  \frac {\pi}{4}
    La integral me queda asi, aunque me parece que se complica para resolver.
    \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\Theta  \int_{0}^{4} r \frac{\cos \Theta  + 4\sin \Theta }{r^2 \cos ^2 \Theta } dr

    • Hola Pablo,

      Creo que tipeastes mal las coordenadas polares, aunque las interpretás bien en las transformaciones.
      Hay un único error en la integral y es en límite superior del radio, fijate que tenés que integrar hasta la recta y por lo tanto el radio va a depender del ángulo y no va a ser constante (sino estarías integrando sobre una sección de círculo), lo que tenías que darte cuenta es que tenés que despejar el radio de la ecuación de la recta transformada.
      La integral va a parecer más dificil pero vas a ver que se cancela el numerador. Ahora que lo noto también te olvidastes de poner el jacobiano con lo cual se cancelan los radios.
      Fijate si te sale, sinó revisá la resolución acá:
      https://analisis2.wordpress.com/2009/06/21/tp-8-ej-9/

  21. Hola Damian,

    Estoy tratando de resolver el ejercicio TP8-13.
    Que dice, determine el volumen del cuerpo conico (cono circular recto) de altura h y angulo de apertura \Theta , uviquelo en la posicion mas conveniente para facilitar los calculos.
    Mirando el grafico es un cono de eje z, con Z<0
    La ec. es: x^2 + y^2 - z^2  =0
    Para acotar el eje z: z\ge-1 \qquad  \wedge \qquad z\le0
    Por la simetria puedo hallar el volumen del 8vo octante y multiplicarlo por 4.

    Si resuelvo la integral sobre un octante, entonces:
    0 \leq \theta \leq \frac{\Pi}{2}

    Utilizo coordenadas cilindricas:
    z= x^2 + y^2
    x=\varphi \cos \theta
    y=\varphi \sin \theta
    z=z

    z= \sqrt[2]{\varphi^2 \cos^2 \theta + \varphi^2 \sin^2 \theta}
    z=\varphi

    La integral queda. Pero hay un extremo de la integral, que no se cual es.
    \int_{0}^{\theta} d\theta \int_{0}^{ni idea} \varphi d\varphi \int_{0}^{\varphi} dz

    • Hola Pablo,
      Edité los tags de latex de tu comentario para que puedan visualizarse (no tenés que dejar espacio entre $ y latex)
      Fijate que te piden que el cono sea de altura h, vos en tu resolución la fijastes como altura 1 al poner que -1 \leq z \leq 0
      En tu caso el radio sería el radio de la circunferencia proyectada sobre el plano xy, es decir cuando z=-1 sería 1^2 = x^2+y^2, por lo tanto el radio sería 1.
      Ojo que aparentemente tampoco estás teniendo en cuenta el ángulo de apertura, y para la altura no debería ir de 0 a \varphi sino de -1 a \varphi
      La resolución la podés ver en este post:
      https://analisis2.wordpress.com/2009/06/30/tp-8-ej-13/

  22. Hola Damian,

    Estoy resolviendo un ejercicio de un parcial.
    Enunciado:
    Calcule el flujo de f (x, y, z) = ( 2 x + y sen(z) , x sen(z) , cos(x) + 4 z ) a través de la superficie abierta S de ecuación
    z = 25 – x 2 – y 2 con z >= 3 .
    Indique gráficamente cómo ha decidido orientar a S .

    Pero cuando hay que hacer el producto de: f.n, no lo puedo reducir, y me queda una expresion un poco extensa para integrar. Mi pregunta es, esta bien asi o me equivoque ?

    Escribo mi solucion.
    f(x,y,z) = ((2x+y \sin (z)), x \sin(z), cos(x)+4z)

    z=\sqrt[2]{25-x^2 -y^2}

    x^2 + y^2 + z^2 = 25

    w=x^2 + y^2 + z^2

    Obtengo el n:

    n=\frac{\nabla w}{\mod \nabla w}

    n= (\frac{2x}{2\sqrt[2]{x^2 + y^2 + z^2}}, \frac{2y}{2\sqrt[2]{x^2 + y^2 + z^2}},   \frac{2z}{2\sqrt[2]{x^2 + y^2 + z^2}})

    n= (\frac{x}{\sqrt[2]{x^2 + y^2 + z^2}}, \frac{y}{\sqrt[2]{x^2 + y^2 + z^2}}, \frac{z}  {\sqrt[2]{x^2 + y^2 + z^2}})

    f.n=(2xy\sin(z), x\sin(z), \cos(x)+4z).(\frac{x}{\sqrt[2]{x^2 + y^2 + z^2}}, \frac{y}  {\sqrt[2]{x^2 + y^2 + z^2}}, \frac{z}{\sqrt[2]{x^2 + y^2 + z^2}})

    Y la siguiente espresion, me parece que es un larga para integrar.
    \frac{2x^2 y\sin(z) + xy\sin(z) + z\cos(x)+4z}{\sqrt[2]{x^2 + y^2 + z^2}}

    \int_{}^{} \frac{2x^2 y\sin(z) + xy\sin(z) + z\cos(x)+4z}{\sqrt[2]{x^2 + y^2 + z^2}} ds

    • Hola Pablo,
      Efectivamente, ese ejercicio es ideal para aplicar ‘convenientemente’ el teorema de la divergencia.
      Si bien la superficie es abierta, podés ponerle la tapa del plano z=3, y calcular la divergencia sobre el volumen, esto sería equivalente al flujo saliente sobre tu superficie y la tapa. Luego calculás el flujo sobre la tapa y se lo restás al flujo total antes obtenido.
      Intentalo de nuevo cualquier cosa me preguntás.
      Saludos.

  23. Hola Damián,

    Bueno, ahora en mi intento de resolver este ejercicio, voy a aplicar el teorema de la divergencia. Y como vos me sugerís,
    busco el flujo saliente entre la superficie y la tapa Z=3 , luego el flujo sobre la tapa. Y la diferencia entre ambos es el
    resultado.
    Entonces:

    \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{5} \rho d\rho \int_{0}^{5-\rho^2} dz

    \int_{0}^{2\pi} d\theta (\frac{5}{2}\rho^2 - \frac{\rho^4}{4})\coprod_{0}^{5}

    \frac {25}{2} - \frac {625}{4} = \frac {-575}{4}

    \frac {-575}{4} \int_{0}^{2\pi} d\theta

    \frac {-575}{4} 2\pi

    \frac {-575}{2} \pi

    La otra integral es:

    \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{5} \rho d\rho \int_{3}^{5-\rho^2} dz

    \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{5} \rho(2-\rho^2) d\rho

    \int_{0}^{2\pi} d\theta (\rho^2 - \frac{\rho^4}{4}) \coprod_{0}^{5}

    6(\frac{-525}{4})2\pi = - 1575 \pi

    Si, resto ambos resultados:

    \frac {2575}{2} \pi

    • Hola Pablo,

      Algo no cierra del todo ya que las dos integrales que hicistes son triples.
      Para integrar la divergencia sobre el volumen si que necesitás una integral triple, pero para integrar sobre la tapa (una superficie) necesitás sólo una integral doble.
      Interpreto que la segunda es tu integral de divergencia ya que pusistes el 6 que es el valor del elemento de divergencia. En ese caso la resta la tenés que hacer al revés.
      Por otro lado, fijate que el radio de integración no es 5 sino \sqrt{22} que es cuando intersectás la tapa con la superficie.
      Una pregunta, seguro que tipeastes bien el campo vectorial? Porque me sorprende que el componente z del campo sea cos(x) + 4z ya que de esa forma te va a quedar una integral rara sobre la tapa cuando pases a polares (integral de \cos(\rho \cos(\phi)))

  24. Hola Damian,

    Voy a corregir lo de la integral doble y los demas puntos que mencionas y te paso los pasos que hice para resolver.

    Cordialmente,
    Pablo.

  25. Hola Damian,

    Retome el ejercicio, que esta posteado como (Julio 7, 2009 a las 3:44 pm.)
    Y solo desarrolle la integral sobre el plano z=3 (aplicando divengencia).
    Revise el campo vectorial y es como dice el enunciado. Lo saque de la pag. de a.m.II, esta en un pdf que se titula modelo de parciales. (En el pdf es la hoja 4. ej.:e2)
    f (x, y, z) = ( 2 x + y sen(z) , x sen(z) , cos(x) + 4 z )

    El flujo sobre el plano z=3 es:

    \int_{}^{} \int_{}^{} ( 2 x + y sen(z) , x sen(z) , cos(x) + 4 z )(0,0,-1) dxdy

    - \int_{}^{} \int_{}^{} 4(0,0,1) dxdy

    - 4 \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt[2]{22}} \rho d\rho = -88\pi

    Tenes alguna pista de donde me equivoque ?

    Saludos.
    Pablo.

    • Hola Pablo,

      Como te distes cuenta de que había un error? Digo porque el hecho de que de negativo no implica que esté mal, ya que estás calculando un flujo.
      De todas formas si hay un error, y es que cuando integrás sobre el plano no tenés que aplicar divergencia, la divergencia solamente se integra sobre un volumen, sería el otro lado de la ecuación del teorema de la divergencia.
      O sea que te quedaría que f \cdot n = -(\cos(x) + 4z), y como z=3 sería -\cos(x) - 12.
      Precisamente por eso me llama la atención el campo, ya que al pasar a polares te quedaría -\cos(\rho\cos(\phi)) - 12 en la integral.

      La superficie es z = \sqrt{25 - x^2 - y^2} con z \geq 3 no?
      A que página de a.m.II te referís? Tenes el link?

      Saludos,
      Damián.

    • Hola Pablo,

      Efectivamente veo que copiastes bien el campo, pero para mí que igual hay un error en el enunciado, ya que tanto si lo encarás por el lado de aplicar el teorema de la divergencia, como si lo encarás por el lado de calcular directamente el flujo sobre la superficie, en algún momento te queda para integrar algo parecido a \int \cos(\cos(x)) dx que no está en la tabla de integrales, y no se me ocurre como resolverla.
      Si el componente z del campo en vez de ser \cos(x) + 4z fuese x + 4z o \cos(z) + 4z la integral quedaría mucho mas sencilla y saldría con el método de la divergencia.
      Yo diría que si llegás a plantear bien la integral ya está bastante bien y sigas con otro ejercicio. Si se te ocurre alguna otra forma de resolverlo avisame.

      Saludos,
      Damián.

  26. Hola Damian,

    Este ejercicio lo saque de la guia de finales de pagina de la catedra.
    Tema 9 (107\96) ej. 1.b.
    Enunciado:
    Calcule el flujo de f a travez de la semiesfera de la ecuacion
    z=\sqrt{4-x^2 - y^2}
    sabiendo que existe un campo g \in c^2  / f=rot(g)
    f(x,y,0) = (0, -y, 1-x)
    Indique claramente en un grafico la orientacion de los versores normales que utiliza.

    Solucion:
    En el enunciado dice que, g tiene derivada 2da continua (lo que me preocupa es que no se como utilizar ese dato).
    En el campo vectorial solo dan el plano xy.
    Voy a utilizar el T. de la divergencia sobre el volumen, luego le resto la tapa.
    Entonces:
    div(f) -1

    Semiesfera:
    Paso a coordenadas cilindricas

    -\int_{0}^{2\pi}  d\phi \int_{0}^{2} \rho d\rho \int_{0'}^{\sqrt{4-\rho ^2}} dy
    = 64\pi

    Ahora la tapa (sobre el plano z=0)

    f.N = (0, -y, 1-x).(0,0,-1)= -1+x = x-1

    \rho cos \phi - 1

    \int_{0}^{2\pi} cos\phi  d\pi \int_{0}^{2} \rho d\rho - \int_{0}^{2\pi} d\pi \int_{0}^  {2} d\rho = -4\pi

    64\pi - (-4\pi) = 68\pi

    • Hola Pablo,
      El único error es que calculastes div(f) = -1 aparentemente a partir del campo f (eso no lo podés hacer porque no conocés el componente z del campo). Lo que había que hacer es usar que div(f) = div(rot(g)) = 0 que es una identidad que se cumple siempre (la divergencia de un rotor es nula). Lo de que g \in C^2 te lo dice precisamente para que se pueda calcular la div(rot(g)).
      Por lo tanto el ejercicio era más fácil todavía porque no hacía falta la integral triple y el resultado del flujo pedido era simplemente 0 - (-4\pi) = 4\pi
      Aunque no te cambia el resultado noté también que en tu primer integral doble debería decir \rho^2 donde dice \rho

  27. Hola Damian,

    En la practica 7 hay ejercicios de circulacion y en otra practica creo que la 10, hay ejercicios de los teoremas de Lagrance, Stockes y Gauss, donde tambien hay ejercicios de circulacion.
    Mi pregunta seguramente es obvia, pero queria saber si los ejercicios de circulacion de la practica 7, se pueden resolver utilizando los teoremas previamente mencionados.
    Saludos.
    Pablo.

    • Hola Pablo,
      Creo que cuando decís teorema de Lagrance te referís al teorema de Green 😉

      Es cierto, en la materia vemos 4 formas de calcular una circulación:
      a) integrando en forma directa (tp7)
      b) usando la función potencial (tp7)
      c) usando el teorema de green (tp10)
      d) usando el teorema de stokes (tp10)

      Guarda porque eso no implica que sabiendo una forma ya podés calcular cualquier circulación, hay ejercicios que solo salen en forma directa, otros solo salen con la función potencial, otros que solo salen por green, y otros que solo salen por stokes.

      En particular, green solo sirve para curvas cerradas en el plano, y stokes para curvas cerradas en el espacio. Si bien a veces es posible ‘cerrar’ una curva abierta (sería equivalente a ponerle la tapa a una superficie abierta en el teorema de la divergencia), eso no implica que siempre se pueda o convenga usar los teoremas.

      En resumen, algunos ejercicios sí salen por mas de un método, seguramente algunos ejercicios del tp7 salen usando los teoremas del tp10, pero para otros sólo hay uno de los 4 métodos que se puede aplicar.

      Saludos,
      Damián.

  28. Hola Damian,

    el siguiente es un ejercicio del 2do parcial que tomaron en el curso.
    P3) Dada la ec. dif. (2y+x)dy + (2x+y)dx = 0
    a) hallar la solucion gral
    b) Utilizando la funcion potencial obtenida en a) hallar el trabajo del campo de fuerzas
    F(x,y) = (2x+y, 2y+x) a lo largo de la curva
    c(t)=(\cos t, \sin t)

    Verifico condicion necesaria y suficiente:
    \frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y} = 0
    2 – 2 = 0

    Hallo la func, potencial:

    \int_{}^{} (2y+x)dy = y^2 + xy + c(x)

    \int_{}^{} (2x+y)dy = x^2 + xy + c(y)

    Creo que lo anterior esta bien, pero no se como seguir con la parte (b) del enunciado.

    Muchas Gracias,
    Pablo.

    • Hola Pablo,
      Fijate que si está bien copiado el ejercicio te conviene reordenar la ec. diferencial de la siguiente forma:
      (2x+y)dx + (2y+x)dy = 0
      En ese caso, la condición necesaria se satisface pero queda:
      1-1 = 0
      Luego, si el campo es:
      f(x,y) = (2x+y, 2y+x)
      Las integrales serían
      \int 2x+y dx = x^2 + yx + c(y)
      \int 2y+x dy = y^2 + xy + c(x)
      tomando todos los términos diferentes:
      F(x,y) = x^2 + y^2 + xy + c

      No pusistes entre que límites va el parametro de la curva, pero suponiendo que queda una circunferencia completa, fijate que como f es conservativo, ni hace falta hacer la cuenta ya que la circulación sobre un camino cerrado va a ser 0.

      Saludos,
      Damián.

  29. Los limites entre los que va el parametro de la curva, si
    x= r cos (t)
    y= r sin (t)
    La integral seria:
    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} c(t).c'(t) dt

    c'(t) = (-r \sin t, r \cos t)

    El trabajo cobre la curva:
    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (r^2\cos^2 t + r^2 \sin^2 t + r\cos t  r\sin t)(-r \sin t, r \cos t)

    Pablo.

    • Por lo que interpreto el parametro varía entre 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}.

      En ese caso la curva es abierta. Fijate que el enunciado dice que hay que usar la función potencial para calcular la circulación, por lo que no hace falta integrar nada mas.
      La integral que escribistes no está bien planteada porque en el integrando te queda un escalar por un vector, lo cual da un vector, y siempre debe terminar siendo un escalar. Si lo querés hacer directamente sin usar la función potencial (para verificar que da lo mismo), te tiene que quedar un producto escalar dentro de la integral.
      Además creo que hay un error de tipeo y quisistes poner f(c(t)) donde dice c(t).

      Los puntos entre los que varía la curva son
      A: c(0) = (1,0)
      B: c(\frac{\pi}{2}) = (0,1)

      La función potencial en esos puntos es:
      F(A) = 1+c
      F(B) = 1+c

      Por lo tanto la circulación es
      F(B) - F(A) = 0

      En este caso, a pesar de que la curva es abierta la circulación da 0.

      Saludos,
      Damián.

  30. Estoy resolviendo otro ejercicio del parcial.
    Hallar el volumen del cuerpo, cuya superficie frontera esta constituida por las superficies dadas por las ecuaciones:
    y=1, y=-1, y^2 + z^2 =2

    Si proyecto sobre el plano y=0,
    Entonces:
    x^2 + z^2 = 2

    En coordenadas cilindricas:
    x= \rho \cos \theta
    y= \rho \sin \theta

    \rho^2 = 2
    Y el volumen =

    \int_{0}^{2\pi} d\pi \int_{0}^{\sqrt[2]{2}} \rho d\rho  \int_{0}^{\rho} dy

    Esta bien ?
    No estoy seguro si en vez de integrar entre
    0 y \rho
    Deveria hacerlo entre -1 y 1.

    Saludos.
    Pablo.

    • Me parece que no está bien copiado el ejercicio, porque si es así no queda una región acotada.
      Asumo que las ecuaciones en realidad son:
      y=1, y = -1, x^2 + z^2 = 2
      (cambié la última ecuación en base a la proyección que hacés después sobre el plano xz)
      Aunque si es así, en realidad es muy simple ya que es un cilindro de radio \sqrt{2} y altura 2, que se podría hacer con la fórmula conocida \pi r^2 h y daría 4\pi.
      Ojo que las coordenadas cilíndricas en ese caso la tendrías que tomar en el xz y no en el xy como pusistes.
      Y si está bien mi interpretación, entonces y iría entre -1 y 1, no se porqué pusistes de 0 a \rho
      Si no era así tendrías que copiarme bien el enunciado completo, porque me parece raro que sea tan simple el problema.

  31. Damian,
    Entiendo lo que decis, pero el enunciado dice que es una esfera y eso me confunde un poco.
    El enunciado completo dice :
    Hallar en volumen del cuerpo, cuya superficie frontera esta constituida por las superficies dadas por las ecuaciones.

    y=1,\qquad y=-1, \qquad x^2 + y^2 + z^2 =2

    Pablo.

    • Ah, ya me parecía… es bastante mas complicado, te había faltado el x^2 en la esfera, y por ende parecía un cilindro (que era mucho mas fácil).
      Es una esfera cortado por dos planos paralelos. Lo que podés hacer es calcular la sección de esfera ‘cortada’ por uno de estos planos. Luego por simetría el otro plano corta la misma cantidad de volumen, por lo tanto al volúmen de la esfera total le restas el doble del volúmen cortado por un plano, no se si me explico.
      Para que te sea mas sencillo de trabajar con coordenadas esféricas, podrías cambiar el plano y=1 por el z=1, lo cual simplificaría los cálculos, y corta el mismo volumen (es como rotar el plano para que quede arriba en vez de al costado)

      Saludos,
      Damián

  32. Soy alumno que está estudiando para final. Tengo problemas con el 9.5.h. (hallar sup de plano limitado por cilindro). Me da 18 sqrt(6) pi en vez de 9 sqrt(6) pi. Estoy haciéndolo pasando a polares común, con z entre -5 y el plano (z=2x+y-2), con r entre 0 y 3 y phi entre 0 y 2pi. Al final se me anulan los cosenos y los senos y me queda solo la integral de r entre 0 y 3 multiplicada por 3, evaluada entre 0 y 2 pi. Muchas gracias!

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