Soluciones Segundo Parcial

1) Calcule el volumen del cuerpo definido por z \geq \sqrt{x^2+y^2}, z\leq 2 - x^2 - y^2, y \geq x

\int_{\pi/4}^{5\pi/4} d\phi \int_0^1 \rho d\rho \int_{\rho}^{2-\rho^2} dz = 5\pi/12

2) Calcule el área del trozo de cilindro de ecuación x^2 + z^2 = 2 cuyos puntos están en el 1º octante con z \geq x, y \leq x .

Parametrizando la superficie como S(\phi, y) = (\sqrt{2}\cos(\phi), y, \sqrt{2}\sin(\phi))

La integral queda:

\sqrt{2} \int_{\pi/4}^{\pi/2} d\phi \int_0^{\sqrt{2}\cos(\phi)} dy = 2 - \sqrt{2}.

3) Calcule la integral de línea del campo f(x,y,z) = (xy, x, zy) desde (2,-2,-2) hasta (1,-1,0) a lo largo de la curva C definida por la intersección de las superficies S_1: z = x - y^2 y S_2: x+y = 0 ¿Es posible verificar el resultado usando función potencial? Justifique su respuesta.

Si parametrizo la curva como C(t) = (t, -t, t-t^2), tendría que el parámetro t debería variar entre 2 y 1, por lo tanto queda:

- \int_1^2 (-t^2, t, t^3-t^2) (1, -1, 1-2t) dt = \frac{439}{60}

El jacobiano de f no es simétrico luego no existe función potencial.

4) Calcule el flujo de f a través del trozo de paraboloide de ecuación z = x^2 + y^2 con z \leq 6, si f(x,y,6) = (x,y,12-y), y además div(f) = 4.

Con la divergencia calculo el flujo total:

4 \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\sqrt{6}} \rho d\rho \int_{\rho^2}^{6} dz = 72\pi

Luego calculo el flujo en la tapa:

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\sqrt{6}} 12\rho - \rho^2 \sin(\phi) d\rho = 72\pi.

Finalmente, el flujo en la superficie pedida es igual al total menos la tapa, 72\pi - 72\pi = 0 .

5) Dada la ecuación diferencial y'' - 3y'+ 2y = 8x, halle la solución particular que en el punto (0, y_0) tiene recta tangente de ecaución y = 6x + 8.

La ecuación característica queda \alpha^2 - 3\alpha + 2 = 0 con raices reales y distintas 1 y 2.

Por lo tanto va quedando Y_h = c_1 e^x + c_2 e^{2x}.

Para la particular propongo y = a x + b, por lo tanto y' = a y y'' = 0, reemplazando en la ecuación diferencial nos queda un sistema del cual salen a = 4 y b = 6.

Por lo tanto nos va quedando Y_p = 4x + 6.

Y Y_g = Y_h + Y_p = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + 4x + 6.

Para obtener la solución pedida calculo y_0 = 8 de reemplazar en la ecuación de la recta, y me queda un sistema

8 =c_1 + c_2 + 6

6 = c_ 1 + 2_c2 + 4

De donde salen c_1 = 2 y c_2 = 0.

Por lo tanto nos quedó y = 2 e^x + 4x + 6

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13 respuestas a Soluciones Segundo Parcial

  1. Agos dijo:

    Hola Dami, te paso el enunciado de un ejercicio de parcial que intente resolver sin exito ya que la repuesta no coincide con el resultado al que arribe.
    Enunciado: Calcular la masa del cuerpo definido por z >= sqrt(x^2+y^2), x^2+y^2+z^2 <=32 en el primer octante, si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia del punto al plano xy.

    Obtengo como resultado 16Kpi pero según el resuelto la respuesta seria 32kpi

  2. Agos dijo:

    Encontre un segundo ejercicio que dice asi: Calcular el volumen del cuerpo limitado por la superficie S de ecuacion x^2+z^2=2, el plano tangente a S en (1,2,1) y el plano de ecuacion y=4 en el primer octante.
    Halle el plano tangente a S y es igual a x+z=2.
    No logro darme cuenta como armar la integral triple. Si me conviene proyectar en el plano XY. Gracias.

    • dami dijo:

      Me parece un poco ambigüo ese enunciado, porque no me queda claro si se refiere a la región interior o exterior al cilindro (ambas regiones quedan limitadas por dichas superficies).
      Igual en ambos casos me parece que es más fácil si proyectas sobre el plano xz pues el cilindro tiene como eje de simetría al eje y.
      Ahora que lo pienso debe referirse a la parte exterior al cilindro, sinó el plano tangente resulta redundante.

  3. Agos dijo:

    Hola Dami, encontre un ejercicio de parcial que dice lo siguiente. Calcule masa de una chapa plana definida por 1< = x²+y² = |y|, siendo la densidad en cada punto g(x,y)=k.y.
    Cuando resuelvo la integral llego a una masa igual a cero. Es correcto? Gracias!

    • dami dijo:

      Hola Agos,
      Fijate si copiastes bien las inecuaciones de la región, así como está no tiene mucho sentido:
      x^2 + y^2 \geq 1 es el “exterior” de una circunferenia de radio 1.
      Y la otra parte se entiende menos:
      x^2 + y^2 = |y| ?
      Ni siquiera es una inecuación. Habría que analizar que puntos son, pero se nota que la región que quede va a ser de medida nula (intuitivamente hablando, el área vale cero, pero no trabajamos con este tipo de conjuntos las integrales dobles).

      De todas formas te voy diciendo que (suponiendo que el ejercicio esté bien planteado), la masa nunca te puede dar igual a cero.

      Saludos,
      Damián.

  4. Agos dijo:

    Dami, estoy intentando resolver el ejercicio que detallo a continuacion y no se como plantear los extremos de la integral doble. El enunciado dice asi: Calcule el area de la parte de la superficie definida por x²+y²+z²=6z que resulta interior a x²+y²=5.

    Gracias!

    • dami dijo:

      Hola Agos,
      Y que pasó con el ejercicio anterior? Habías copiado mal los límites?
      En este también hay algo mal copiado porque no hay un interior a x^2 + y^2 = 5. Asumo que es x^2 + y^2 \leq 5.
      Contame que intentastes hacer para ver como puedo orientarte.
      Saludos,
      Damián.

  5. Agos dijo:

    Hola Dami, en el ejercicio anterior había un error en el enunciado.El enunciado decia asi: Calcule la masa de una chapa plana definida por 1 <= x²+y²= modulo de y, siendo la densidad en cada punto q(x,y) = k.y utilizando coordenadas polares.
    Resolví la integral y definitivamente la masa es igual a cero.
    Si podes verifícalo! Gracias.

  6. Agos dijo:

    Perdon dami, pero cuando copio el enunciado no respeta la simbologia que utilizo. la superficie plana esta definida como 1<= x²+y², x²+y²= modulo de y siendo la densidad en cada punto q(x,y) = k.y utilizando coordenadas polares.

    • dami dijo:

      Hola Agos,
      Seguís poniendo la misma región de antes. Lo que no parece tener sentido es lo del “igual” al módulo de y.
      Hace una cosa, no copies y pegues el enunciado (no se de donde lo sacás), sinó que tipealo vos a mano, y poné también la integral que te quedó, a ver si puedo ayudarte.
      Saludos,
      Damián.

  7. Agos dijo:

    Hola Dami, en las dos oportunidades escribi a mano, no se por que cuando publico el ejercicio omite algunos simbolos. Como haces para escribir el simbolo de la integral con sus limites?

    Gracias Dami!

    • dami dijo:

      Hola Agos,
      Fijate que en la página principal del blog, al costado derecho, justo antes de la sección comentarios, agregué una pequeña explicación de como ingresar expresiones matemáticas usando código \LaTeX.

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