Archivos para marzo, 2009

Soluciones Segundo Parcial

Martes, marzo 3rd, 2009

1) Calcule el volumen del cuerpo definido por z \geq \sqrt{x^2+y^2}, z\leq 2 - x^2 - y^2, y \geq x

\int_{\pi/4}^{5\pi/4} d\phi \int_0^1 \rho d\rho \int_{\rho}^{2-\rho^2} dz = 5\pi/12

2) Calcule el área del trozo de cilindro de ecuación x^2 + z^2 = 2 cuyos puntos están en el 1º octante con z \geq x, y \leq x .

Parametrizando la superficie como S(\phi, y) = (\sqrt{2}\cos(\phi), y, \sqrt{2}\sin(\phi))

La integral queda:

\sqrt{2} \int_{\pi/4}^{\pi/2} d\phi \int_0^{\sqrt{2}\cos(\phi)} dy = 2 - \sqrt{2}.

3) Calcule la integral de línea del campo f(x,y,z) = (xy, x, zy) desde (2,-2,-2) hasta (1,-1,0) a lo largo de la curva C definida por la intersección de las superficies S_1: z = x - y^2 y S_2: x+y = 0 ¿Es posible verificar el resultado usando función potencial? Justifique su respuesta.

Si parametrizo la curva como C(t) = (t, -t, t-t^2), tendría que el parámetro t debería variar entre 2 y 1, por lo tanto queda:

- \int_1^2 (-t^2, t, t^3-t^2) (1, -1, 1-2t) dt = \frac{439}{60}

El jacobiano de f no es simétrico luego no existe función potencial.

4) Calcule el flujo de f a través del trozo de paraboloide de ecuación z = x^2 + y^2 con z \leq 6, si f(x,y,6) = (x,y,12-y), y además div(f) = 4.

Con la divergencia calculo el flujo total:

4 \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\sqrt{6}} \rho d\rho \int_{\rho^2}^{6} dz = 72\pi

Luego calculo el flujo en la tapa:

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\sqrt{6}} 12\rho - \rho^2 \sin(\phi) d\rho = 72\pi.

Finalmente, el flujo en la superficie pedida es igual al total menos la tapa, 72\pi - 72\pi = 0 .

5) Dada la ecuación diferencial y'' - 3y'+ 2y = 8x, halle la solución particular que en el punto (0, y_0) tiene recta tangente de ecaución y = 6x + 8.

La ecuación característica queda \alpha^2 - 3\alpha + 2 = 0 con raices reales y distintas 1 y 2.

Por lo tanto va quedando Y_h = c_1 e^x + c_2 e^{2x}.

Para la particular propongo y = a x + b, por lo tanto y' = a y y'' = 0, reemplazando en la ecuación diferencial nos queda un sistema del cual salen a = 4 y b = 6.

Por lo tanto nos va quedando Y_p = 4x + 6.

Y Y_g = Y_h + Y_p = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + 4x + 6.

Para obtener la solución pedida calculo y_0 = 8 de reemplazar en la ecuación de la recta, y me queda un sistema

8 =c_1 + c_2 + 6

6 = c_ 1 + 2_c2 + 4

De donde salen c_1 = 2 y c_2 = 0.

Por lo tanto nos quedó y = 2 e^x + 4x + 6