Calcule el area de la siguiente superficie:
Trozo de cilindro 
Solución:
Primero completamos cuadrados en la superficie para llevarla a una forma canónica.
Es la ecuación de un cilindro paralelo al eje Z pero que en vez de estar centrado en el origen está tiene el eje de simetría en
Ahora queremos parametrizar la superficie cilíndrica 
Como estamos limitados al primer octante tenemos que 
![\left[0,\pi\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B0%2C%5Cpi%5Cright%5D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002 "\left[0,\pi\right]")
De la ecuación de la esfera despejamos z y nos queda
Usando la ecuación de la superficie se convierte en
En los parametros de la superficie esto equivale a
o lo que es lo mismo
Usando la identidad trigonométrica
nos quedaría
Calculamos el vector normal a la superficie
Y la norma del vector normal es 1.
Por lo tanto la integral de superficie nos queda
![= 2 [-2\cos(\frac{\varphi}{2})]_0^\pi](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D+2+%5B-2%5Ccos%28%5Cfrac%7B%5Cvarphi%7D%7B2%7D%29%5D_0%5E%5Cpi+&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002 "= 2 [-2\cos(\frac{\varphi}{2})]_0^\pi")
![= 2 [0 - (-2)]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D+2+%5B0+-+%28-2%29%5D+&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002 "= 2 [0 - (-2)]")
Y por lo tanto el area de la superficie cilíndrica pedida es 4.
.
Hola ante todo y excelente el sitio.
No entiendo muy bien porque esta limitada de 0 a pi. En el primer octante no seria de 0 a pi/2?
Hola Jose,
a 
porque el cilindro no está centrado en el origen: Para todo valor de 
entre esos valores la parametrización que elegí retorna valores del 1º octante.
Gracias por el comentario. Es de
Saludos,
Damián.