Calcule el area de la siguiente superficie:
Trozo de cilindro con
en el 1º octante.
Solución:
Primero completamos cuadrados en la superficie para llevarla a una forma canónica.
Es la ecuación de un cilindro paralelo al eje Z pero que en vez de estar centrado en el origen está tiene el eje de simetría en
Ahora queremos parametrizar la superficie cilíndrica , y lo hacemos de la siguiente manera:
Como estamos limitados al primer octante tenemos que varía entre
y que z varía entre 0 y la esfera.
De la ecuación de la esfera despejamos z y nos queda
Usando la ecuación de la superficie se convierte en
En los parametros de la superficie esto equivale a
o lo que es lo mismo
Usando la identidad trigonométrica
nos quedaría
Calculamos el vector normal a la superficie
Y la norma del vector normal es 1.
Por lo tanto la integral de superficie nos queda
Y por lo tanto el area de la superficie cilíndrica pedida es 4.
Hola ante todo y excelente el sitio.
No entiendo muy bien porque esta limitada de 0 a pi. En el primer octante no seria de 0 a pi/2?
Hola Jose,
a
porque el cilindro no está centrado en el origen: Para todo valor de
entre esos valores la parametrización que elegí retorna valores del 1º octante.
Gracias por el comentario. Es de
Saludos,
Damián.