Archivos para noviembre, 2008

Tp 9. Ej 5.e

Miércoles, noviembre 19th, 2008

Calcule el area de la siguiente superficie:

Trozo de cilindro x^2+y^2=2x con x^2 + y^2 + z^2 \leq 4 en el 1º octante.

Solución:

Primero completamos cuadrados en la superficie para llevarla a una forma canónica.

x^2-2x+y^2 = 0

(x-1)^2+y^2 = 1

Es la ecuación de un cilindro paralelo al eje Z pero que en vez de estar centrado en el origen está tiene el eje de simetría en (1,0,z)

Ahora queremos parametrizar la superficie cilíndrica S , y lo hacemos de la siguiente manera:

S(\varphi, z) = (\cos(\varphi) + 1, \sin(\varphi), z)

Como estamos limitados al primer octante tenemos que \varphi varía entre \left[0,\pi\right] y que z varía entre 0 y la esfera.
De la ecuación de la esfera despejamos z y nos queda
z = \sqrt{4-x^2-y^2}
Usando la ecuación de la superficie se convierte en
z = \sqrt{4-2x}
En los parametros de la superficie esto equivale a
z = \sqrt{4-2\cos(\varphi)-2}
o lo que es lo mismo
z = \sqrt{2}\sqrt{1-\cos(\varphi)}

Usando la identidad trigonométrica
\sin(x/2) = \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}}
nos quedaría
z = 2 \sin(\frac{\varphi}{2})

Calculamos el vector normal a la superficie

S'_{\varphi} = (-\sin(\varphi), \cos(\varphi),0)

S'_{z} = (0,0,1)

N= \left| \begin{array}{ccc}i&j&k\\ -\sin(\varphi)&\cos(\varphi)&0\\ 0&0&1\end{array} \right| = i \cos(\varphi) + j \sin(\varphi) + k 0 = (\cos(\varphi), \sin(\varphi), 0)

Y la norma del vector normal es 1.

Por lo tanto la integral de superficie nos queda

\int_0^\pi d\varphi \int_0^{2\sin(\frac{\varphi}{2})} dz

= 2\int_0^\pi \sin(\frac{\varphi}{2}) d\varphi

= 2 [-2\cos(\frac{\varphi}{2})]_0^\pi

= 2 [0 - (-2)]
= 4

Y por lo tanto el area de la superficie cilíndrica pedida es 4.