Tp 3 Ej 4

4) Sea S la superficie de ecuación z = x^2+y^2 , halle la ecuación de una curva C \subset S que pase por el punto (1,2,5) ; verifique por definición que realmetne se trata de una curva.

Llamamos S: z=x^2 + y^2
y A: (1,2,5)

La curva C debe satisfacer (1) C \subset S y (2) pasar por el punto A .

Nos piden: una ecuación de la curva C (hay varias curvas que satisfacen esas propiedades)

Podemos parametrizar S como
S(x,y) = (x, y, x^2+y^2)

Tomando y=2 obtenemos una de las posibles curvas, que nos queda así

C(x) = (x, 2, x^2+4)


Edit: (14/02/2013)

Este post es tan viejo que me da pena corregirlo porque me gusta ver como pensaba las cosas hace muchos años. Cuando veo cosas que escribí hace mucho por lo general no me gusta ya sea porque están mal, o porque podrían estar mejor. Prefiero aclarar como lo haría ahora:

Me dan la superficie \Sigma de ecuación z=x^2 + y^2 y el punto A = (1,2,5) .

Me piden una curva incluída en \Sigma que pase por A. Si intersecto con el plano de ecuación y=2 me queda la curva intersección x^2 + 4 = z sobre el plano y=2, que la puedo parametrizar con
g(t) = (t, 2, t^2 + 4) con t \in \mathbb{R}

Otra posible curva sería tomar el plano z=5, con lo que me quedaría la curva intersección de x^2 + y^2 =5 sobre el plano z=5, y la podemos parametrizar con
h(t) = (\sqrt{5}\cos(t), \sqrt{5}\sin(t), 5) con 0 \leq t \leq 2\pi

En ambos casos, verificar por definición que se trata de una curva, es justificar que la curva es la imagen de la parametrización, que es una función vectorial contínua. Si queremos ser quisquillosos a veces en la definición de curva se exige que el dominio sea un intervalo cerrado [a,b], con lo cual sólo serviría la curva parametrizada con h(t) como ejemplo.

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2 respuestas a Tp 3 Ej 4

  1. Marina dijo:

    Damián, ¿como verifico por definición que se trata de una curva?

    • dami dijo:

      Hola Marina,
      Fijate que agregué una explicacación más detallada en el post.
      Justo encontrastes un post tan viejo (de los primeros del blog!) que me dió nostalgia borrar como lo había hecho hace 5 años, así que lo resolví de nuevo abajo.
      Saludos,
      Damián.

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