Tp.3 Ej.1

1) Analice la existencia del \lim_{u \rightarrow 0} \left( \frac{1-cos(u)}{u^2}, 1+2u, \frac{sen(u^2)}{u^3+u^2} \right)

Solución:

Si llamamos g(u) = (f_1, f_2, f_3) , y
f_1 = \frac{1-cos(u)}{u^2},
f_2 = 1+2u, y
f_3 = \frac{sen(u^2)}{u^3+u^2}

podemos reescribir el límite como

\lim_{u \rightarrow 0} g(u)

en f_1

\lim_{u \rightarrow 0} \frac{1-cos(u)}{u^2}

aplico L’Hopital

\lim_{u \rightarrow 0} \frac{sin(u)}{2u}

otra vez aplico L’Hopital

\lim_{u \rightarrow 0} \frac{cos(u)}{2} = \frac{1}{2}

En f_2

\lim_{u \rightarrow 0} 1+2u = 1

En f_3

\lim_{u \rightarrow 0} \frac{sin(u^2)}{u^3+u^2}

aplico L’Hopital

\lim_{u \rightarrow 0} \frac{cos(u^2) 2u}{3u^2 + 2u}

otra vez aplico L’Hopital

\lim_{u \rightarrow 0} \frac{-sen(u^2) 2u 2u + cos(u^2) 2}{6u+2} = \frac{2}{2} = 1

Por lo tanto como los 3 límites de las componentes existen, también existe el límite pedido y su valor es

\lim_{u \rightarrow 0} g(u) = (1/2, 1, 1)