T1) Definir campo escalar contínuo en
cuando
.
Indicar si es Verdadero o Falso que: Si
es contínua en la dirección de cualquier vector no nulo de
en
, entonces es contínua en
.
T2) Defina extremos relativos y extremos absolutos para un campo escalar
.
Sea
el polinomio de Taylor de segundo orden de
en
. Si
analice la existencia de extremos de
en
.
E1) Hallar, si existe, 
E2) La curva de ecuación vectorial
tiene un punto
común con la superficie de ecuación
. Analizar si la recta tangente a la curva en
es normal a la superficie en dicho punto.
E3) Sea
donde
es función de
e
definida por la ecuación
, resultando
. Hallar el gradiente de
en el punto
.
E4) La función de producción de una compañía es
. El costo de producción es
con un costo de
, ¿Cuál es la máxima cantidad que puede producir?
Solución: (de la parte práctica)
T2) Sea
el polinomio de Taylor de segundo orden de
en
. Si
analice la existencia de extremos de
en
.
Sabemos que
en un entorno del
pues admite taylor de orden 2 en él. Por lo tanto
es diferenciable en
por composición de funciones diferenciables. Calculamos el gradiente de
:


Del taylor podemos sacar lo siguiente





Por lo tanto


O sea que se cumple la condición necesaria (el punto
es crítico):

Llegado a este punto una opción es analizar con el hessiano de
en
, pero son cuentas largas. Se me ocurre la siguiente alternativa: como la función exponencial es monótona creciente,
es extremo si y solo si
es extremo (ya sea relativo o absoluto). Veamos si
es extremo de
. Recordemos que el taylor es

Por lo tanto


y la matriz hessiana de
en
es

Como
y
hay un mínimo relativo
, y por lo tanto también hay un mínimo relativo 
No podemos saber si es o no absoluto porque sólo tenemos información de
en el entorno del origen.
Ahora que lo terminé de esta forma, se me ocurre otra mucho más rápida de resolver este ejercicio:


de donde se ve cláramente que en el origen se produce un mínimo de
(en sentido amplio siempre), y por lo tanto también de
en
(por la concavidad del taylor) y de
en
(por ser compuesta con una monótona creciente).
E1) Hallar, si existe, 


La función
está acotada en
.
La función
es un infinitésimo, pues si sustituyo
me queda

usando L’Hopital

Por lo tanto el límite pedido existe y vale 0.
E2) La curva de ecuación vectorial
tiene un punto
común con la superficie de ecuación
. Analizar si la recta tangente a la curva en
es normal a la superficie en dicho punto.
Primero busquemos el punto
de la intersección.


El punto mencionado es 
Calculo el vector tangente a la curva en
. Para eso primero parametrizo la curva:



Ahora calculo un vector normal a la superficie en dicho punto
, para ello construyo una función tal que la superficie sea el conjunto de nivel 0:

El gradiente es normal al conjunto de nivel 0, o sea


es un vector normal a la superficie.
Si la recta es normal a la superficie, el vector
debería ser paralelo al
. Pero ello no es así pues debería ocurrir



lo cual es absurdo.
Por lo tanto la recta no es normal a la superficie en dicho punto.
E3) Sea
donde
es función de
e
definida por la ecuación
, resultando
. Hallar el gradiente de
en el punto
.
Primero reconocemos las funciones que intervienen en la composición. Son las funciones


y resulta la compuesta

por la regla de la cadena:



Calculo 




Llamo 






por Cauchy-Dini, en 

Luego

Por lo tanto



E4) La función de producción de una compañía es
. El costo de producción es
con un costo de
, ¿Cuál es la máxima cantidad que puede producir?
El problema consiste en maximizar
sujeto a 
Armo la función de Lagrange











Para justificar que el máximo es
podríamos usar el hessiano restringido, pero una forma más fácil es reemplazando de la siguiente manera









(lógicamente encontramos el mismo valor de x para el punto crítico, pero ahora podemos usar el criterio de la derivada segunda de AM1)


Luego
es máximo local (y absoluto si uno lo piensa un poco).
(Se podría haber hecho todo el ejercicio así sin utilizar la función de Lagrange).